VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2)

Feladatgyűjtemény

(Korábbi zárthelyi és vizsgafeladatok)

Oktatási segédanyag

Fritz Józsefné Kónya Ilona

2000. február

Szerkesztette: Győri Sándor

I. rész Feladatok

1. Differenciálegyenletek

1.1.

1.1.1.

y′ = y^{3} · sin 3x;  y (\frac{π}{2} ) = −1;  y(x) = ?

1.1.2.

y′ = (1 − y) cos 2x y(x) = ?

1.1.3.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

y′ = \frac{sh y}{ch y} sh x

1.1.4.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

y′ = \frac{3y − 2}{2x + 1} , x > 0

1.1.5.

Adja meg az y′ = \frac{(y + 1)^{4}}{x^{2}} differenciálegyenlet összes megoldását!

1.1.6.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

y′ = \frac{(y + 2)^{2}}{1 + x^{2}} ; y(1) = −1

1.1.7.

Írja fel az

e^{y} y′ = e^{y} − e

differenciálegyenlet y(0) = 1, illetve y(0) = 2 kezdeti feltételeket kielégítő megoldásait!

1.1.8.

Oldja meg az

y′ = \frac{3y^{2} + 4}{y (2x + 5)} , x, y > 0

differenciálegyenletet!

1.1.9.

y′ = \frac{y^{2} − 2y + 3}{(y − 1) (x + 1)^{3}} y(x) = ?

1.1.10.

Tekintsük az alábbi differenciálegyenletet:

y′ = \frac{y^{2} − 6y + 8}{(2y − 6)(x + 5)}

a) Határozza meg az x_{0} = 0, y_{0} = 2 ponton áthaladó megoldását!

b) Határozza meg az x_{0} = 0, y_{0} = 1 ponton áthaladó megoldását!

1.2.

1.2.1.

a) Milyen típusú differenciálegyenlet az

y′ − \frac{y}{x} = 2 sin x , x > 0,

Milyen alakú az általános megoldása?

b) Mutassa meg, hogy

y_{p} = 2x ∫_{0}^{x} \frac{sin t}{t} dt

megoldása ennek a differenciálegyenletnek!

c) Írja fel az általános megoldást! (y_{p} nem hozható egyszerűbb alakra!)

1.2.2.

a) y′ − \frac{2y}{x} = 0 y(x) = ?

b) y′ − \frac{2y}{x} = x^{3} y(x) = ?

1.2.3.

Oldja meg az y′ − \frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} differenciálegyenletet!

1.2.4.

y′ = 4xy + 2x y(x) = ? 1.2.5.

Írja fel az

y′ + \frac{3}{x} y = 5x − 4

differenciálegyenlet összes megoldását! 1.2.6.

y′ − 2xy = x^{3}e^{x^{2}} y(x) = ? 1.2.7.

y′ − \frac{4}{x}y = x^{4}e^{−2x} y(x) = ?

1.2.8.

Határozza meg az

y′ − \frac{e^{x}}{e^{x} + 5} y = \frac{5 + e^{x}}{e^{x}}

differenciálegyenlet általános megoldását! 1.2.9.

a) y′ − \frac{3}{x}y = −3x^{4} y(x) = ?

b) y′ + \frac{y}{x} = x^{4}y^{4} y(x) = ? (u = \frac{1}{y^{3}} helyettesítéssel oldja meg!)

1.3.

1.3.1.

u = \frac{y}{x} helyettesítéssel oldja meg az

x^{2}y′ + xy = x^{2} + y^{2}

differenciálegyenletet! (x > 0 feltételezéssel dolgozhat) 1.3.2.

y′ = (2x + y)^{2} − 2 , y(1) = −3 , y(x) = ?

(u = 2x + y új változó bevezetésével oldja meg!)

1.3.3.

Vezesse be az u = y − 3x új változót, majd keresse meg az

y′ = (y − 3x)^{2} , y (\frac{−1}{\sqrt{3}}) = 0

kezdeti érték probléma egy megoldását!

1.3.4.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet az u = y^{3} helyettesítéssel!

3y′ − 2y = \frac{2 + e^{3x}}{y^{2}}

1.3.5.

Hajtsa végre az u = xy^{3} helyettesítést a

3xy^{2}y′ − y^{3} = x^{3}

differenciálegyenletnél! A kapott egyenletet nem kell megoldania!

1.3.6.

Oldja meg az alábbi kezdeti érték problémát az y′ = p(y) helyettesítéssel!

y′′ = \frac{(y′)^{2}}{y} ; y(0) = 1 , y′(0) = 2

1.4.

1.4.1.

Tekintsük az y′ = x^{2} + y^{3} differenciálegyenletet!

a) Indokolja meg, hogy az x_{0} = 1 pontnak van olyan környezete, melyben az y(1) = −1 kezdeti érték probléma egyértelműen megoldható! Jelöljük ezt a megoldást y = φ(x)-szel!

b) A differenciálegyenlet megoldása nélkül határozza meg φ-nek az x_{0} = 1 körüli harmadfokú Taylor polinomját!

c) Milyen lokális tulajdonsága van φ-nek az x_{0} = 1 pontban?

1.4.2.

y′ = \frac{y − x + 1}{y − x} , y ≠ x

a) Indokolja meg, hogy a fenti differenciálegyenletnek pontosan egy megoldása halad át az x_{0} = 2 , y_{0} = 5 ponton!

b) Milyen irányú az iránymező ebben a pontban? Mely pontokban lesz ugyanilyen irányú az iránymező?

c) Írja fel az a)-beli megoldásgörbe x_{0} = 2 pontbeli másodfokú Taylor polinomját!

1.4.3.

Tekitsük az alábbi differenciálegyenletet!

y′ = y^{3} − e^{3x}

a) Igaz-e, hogy ennek a differenciálegyenletnek minden ponton át halad megoldásgörbéje?

b) Milyen szög alatt metszi az y tengelyt az x_{0} = 0, y_{0} = \sqrt[3]{2} ponton áthaladó megoldásgörbe?

c) Mely pontokon áthaladó megoldásgörbéknek van lokális maximuma illetve minimuma éppen a szóbanforgó pontban?

1.4.4.

y′ = x^{2} + y^{2} − 2xy

a) Rajzolja fel az (1, 2) ponton áthaladó izoklínát! (Rajzoljon be néhány vonalelemet is!)

b) A differenciálegyenlet megoldása nélkül vizsgálja meg, hogy hol lehet lokális szélsőértéke a megoldásgörbéknek! Ahol van, ott milyen jellegű a lokális szélsőérték?

1.5.

1.5.1.

a) y′′ − 2y′ − 3y = 0 Adja meg az általános megoldást! Adja meg az y(0) = 0, y′(0) = 4 feltételeket kielégítő megoldást!

b) y′′ − 2y′ − 3y = 3x y(x) = ?

c) y′′ − 2y′ − 3y = −2 sin x − 6 cos x y(x) = ?

1.5.2.

y′′ + 2y′ − 3y = e^{5x} y(x) = ?

1.5.3.

Írja fel az alábbi differenciálegyenlet általános megoldását: y′′ − 6y′ + 9y = 27x^{2}

1.5.4.

y′′ + y′ − 2y = 6e^{x} + 2x y(x) = ?

1.5.5.

y′′ + 8y′ = 34 · sin 2x y(x) = ?

1.5.6.

Határozza meg a

y′′ + 10y′ + 29y = −40e^{29x}

általános megoldását!

1.5.7.

Adja meg α értékét úgy, hogy az

y′′ − αy = e^{5x}, α ∈ ℝ \ {0}

differenciálegyenletnél külső rezonancia lépjen fel!

Ezen α érték esetén válaszoljon az alábbi kérdésekre:

a) Milyen szerkezetű az általános megoldás?

b) Milyen alakban kereshető egyik megoldása?

c) Határozza meg az általános megoldást! (A fenti α érték esetén.)

1.5.8.

A β paraméter függvényében keresse meg az alábbi differenciálegyenlet megoldását! y′′ + 2 β y′ + y = 0

1.5.9.

a) Írja fel a

y′′ + y = cos x

differenciálegyenlet általános megoldását!

b) Az α paraméter mely értéke mellett lesz periodikus (azaz ”tiszta” szinuszos vagy kosz-

inuszos tagokat tartalamazó) az

y′′ + α y = cos x

differenciálegyenlet minden megoldása;

1.5.10.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

y′′′ + 9y′ = 3x^{2}

1.5.11.

y′′′ + 4y′ = 24x^{2} y(x) = ?

1.6.

1.6.1.

Mutassa meg, hogy az

(3(x − 1)^{2}y^{2} + 2e^{2x}) dx + (2(x − 1)^{3}y + 2 cos 2y) dy = 0

differenciálegyenlet egzakt, és oldja meg!

1.6.2.

Mutassa meg, hogy az alábbi differenciálegyenlet egzakt, és oldja meg a differenciálegyenletet!

(e^{3y^{2}} + 2x + 2 + 2xy^{3}) dx + (6xye^{3y^{2}} + 9y^{2} + 3x^{2}y^{2}) dy = 0 y(1) = 0

1.6.3.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

(x^{3} + 3xy^{3} − 1) dx + (3x^{2}y^{2} + e^{y}) dy = 0

1.6.4.

Mutassa meg, hogy az alábbi differenciálegyenlet egzakt, és határozza meg az y(2) = 0 kezdeti feltételt kielégítő megoldását:

(1 + e^{xy} + xye^{xy}) dx + (x^{2}e^{xy} + \frac{2y}{1 + y^{2}} ) dy = 0

1.6.5.

Mutassa meg, hogy az alábbi differenciálegyenlet egzakt és adja meg az általános megoldását!

(2y e^{y^{2}+2x} + 6x) dx + ((1 + 2y^{2}) e^{y^{2}+2x} + 3) dy = 0

1.6.6.

Oldja meg az alábbi differenciálegyenletet!

(2xe^{2y} + 6x + y · cos xy) dx + (2x^{2}e^{2y} − 6 + x · cos xy) dy = 0 y(1) = 0 ,

1.6.7.

Oldja meg az alábbi kezdeti érték problémát:

(2e^{2x+y} + x) dx + (e^{2x+y} + 3y^{2}) dy = 0 , x_{0} = 0, y_{0} = 1

1.6.8.

Mutassa meg, hogy az alábbi differenciálegyenlet egzakt, és határozza meg az y(2) = 0 kezdeti feltételt kielégítő megoldását:

(4x^{3}y^{3} + 3x^{2}y^{2} + 2x) dx + (3x^{4}y^{2} + 2x^{3}y − 4y^{3}) dy = 0

1.6.9.

Keressen t = \frac{x}{y} − tól függő multiplikátort az

\frac{1}{y} dx + yx dy = 0

differenciálegyenlethez! (A differenciálegyenletet nem kell megoldania!)

1.6.10.

g(x, y) dx + h(x, y) dy = 0

a) Milyen feltételnek kell a g és h függvényeknek megfelelniük, hogy a nem egzakt differenciálegyenlet μ(x − y^{2}) multiplikátorral szorozva egzakt legyen?

b) Alkalmazza eredményét az alábbi differenciálegyenletre, és határozza meg a multiplikátort:

(6x + 6y − 2y^{2}) dx − (8xy + 15y^{2} − 3x) dy = 0

(Ne oldja meg az egzakt differenciálegyenletet!)

1.7.

1.7.1.

Keresse meg a következő differenciálegyenlet-rendszerek megoldását!

˙\underline{x} = (\begin{matrix}2 & −1 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}) \underline{x}

˙\underline{x} = (\begin{matrix}−1 & −2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \underline{x}

1.7.2.

Írja fel az alábbi differenciálegyenlet-rendszer egyik megoldását!

˙\underline{x} = (\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 3 \end{matrix}) \underline{x}

1.7.3.

Az alábbi differenciálegyenlet-rendszer egyik megoldása \underline{x}_{1} = e^{2t} (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}). Keressük meg az

\underline{x}_{1}-től lineárisan független megoldásokat!

˙\underline{x} = (\begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 3 \end{matrix}) \underline{x}

1.7.4.

Határozza meg az alábbi differenciálegyenlet-rendszer megoldáshalmazának egy kétdimenziós alterét!

˙\underline{x} = (\begin{matrix}0 & 0 & 1 & −1 \\ −1 & 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \underline{x}

1.7.5.

Írjuk fel az alábbi differenciálegyenlet-rendszerek általános megoldását két lineárisan független megoldásvektor lineáris kombinációjaként!

a) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}2 & 9 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \underline{x}

b) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}2 & −16 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \underline{x}

c) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \underline{x}

1.7.6.

Írjuk fel az alábbi differenciálegyenlet-rendszerek általános megoldását!

a) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 16 & 1 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}e^{−t} \\ 0 \end{matrix})

b) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 16 & 1 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}1 \\ e^{2t} \end{matrix})

c) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}1 & −9 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}0 \\ 2 \end{matrix})

d) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}1 & −9 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}e^{t} \\ e^{−t} \end{matrix})

e) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}3 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}t \\ 0 \end{matrix})

f) ˙ \underline{x} = (\begin{matrix}3 & 4 \\ 1 & 3 \end{matrix}) \underline{x} + (\begin{matrix}t \\ 1 \end{matrix})

2. Függvénysorozatok, függvénysorok

2.1.

2.1.1.

Legyen

f_{n}(x) = \frac{1}{2x^{2} + n + 5} + 3x

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ? , D_{f} = ?

2.1.2.

Legyen

f_{n}(x) = \frac{x^{2} − xn^{3}}{x^{4} + n + 3}

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ? , D_{f} = ?

2.1.3.

lim_{n→∞} \frac{xn^{3} + n^{2} + 1}{xn^{3} + (x + 2)n^{2} + 1} = ? , ha x ≥ 0

2.1.4.

lim_{n→∞} \frac{x^{2}n^{4} + n^{2} + 3}{2xn^{4} + (x + 5)n^{2} + 2} = ? , ha x ∈ [0, ∞) .

Egyenletes-e a konvergencia?

2.1.5.

Egyenletesen konvergens-e az

f_{n}(x) = \frac{1}{1 + nx^{2}}

függvénysorozat a (−∞, ∞) intervallumon? lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

2.1.6.

f_{n}(x) = \frac{n + sin nx}{n}

a) f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

b) ||f_{n} − f|| = ?

2.1.7.

Legyen

f_{n}(x) = \frac{1}{x^{2} + n^{4}}

a) lim_{n→∞} f_{n}(x) = f(x) = ?

b) ||f_{n} − f|| = ?

2.1.8.

f_{n}(x) = \frac{x}{n^{2} + 4x^{2}}

a) f(x) = ? , D_{f} = ?

b) Határozza meg az ||f − f_{n}|| normát a konvergencia tartományban! Egyenletes-e a konvergencia?

2.1.9.

Legyen

f_{n}(x) = \frac{−x^{2} + (n + 4)x}{n} , 0 ≤ x ≤ 3

a) f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

b) ||f_{n} − f|| = ?

c) Egyenletes-e a konvergencia?

2.1.10.

f_{n}(x) = \frac{1}{x + \sqrt[n]{n}}, x ≥ 0

a) f(x) = ?

b) ||f_{n} − f|| = ?

c) Egyenletes-e a konvergencia a [0, ∞)-on?

2.1.11.

f_{n}(x) = \frac{x^{2}}{1 + n^{2}x^{2}}

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

Határozza meg az ||f_{n} − f|| értékét a konvergencia tartományban! Egyenletesen konvergens-e itt a függvénysorozat?

2.1.12.

f_{n}(x) = e^{−nx^{2}} + 2x^{2} x ∈ [0, ∞)

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

Egyenletes-e a konvergencia a [0, 1] , illetve az [1, 2] intervallumon? 2.1.13.

f_{n}(x) = e^{2x} + \begin{matrix}sin & 2 & (n^{3}x^{2}) \\ √ & \overline{2n^{2} + 3} \end{matrix}

a) f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = ?

b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ?

2.2.

2.2.1.

∑_{n=1}^{∞} 2^{n} e^{xn}

Adja meg a sor konvergencia tartományát és összegfüggvényét! 2.2.2.

∑_{n=2}^{∞} 2 (ln x)^{n}

Adja meg a sor konvergencia tartományát és összegfüggvényét! 2.2.3.

Egyenletesen konvergens-e a ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k^{2} + \sqrt{k} + x^{2}} függvénysor?

2.2.4.

Egyenletesen konvergens-e az alábbi sor?

∑_{k=1}^{∞} \frac{sin (x\sqrt{k} + 1)}{5x^{2} + 3^{k}}

2.2.5.

∑_{n=1}^{∞} \frac{arctg (n^{3}x^{2} + 1)}{2^{n} + 3x^{2}}

Milyen x-re folytonos a sor összegfüggvénye?

2.2.6.

Felcserélhető-e a ∑^{∞} és az integrál jel az alábbi kifejezésben?

∫_{0}^{π} (∑_{k=0}^{∞} \frac{2^{k} sin kx}{3^{k}}) dx

2.2.7.

Milyen x ∈ ℝ esetén folytonos az alábbi sor összegfüggvénye?

∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(nx)}{3^{n} + 2^{n}}

Milyen intervallumon lehet tagonként integrálni?

2.2.8.

a) Milyen x-re konvergens a

∑_{n=1}^{∞} \frac{sin \frac{x+1}{n^{2}}}{n^{2} + 3n + 8}

függvénysor?

b) Mutassa meg, hogy ∀ x ∈ ℝ esetén differenciálható a sor összegfüggvénye!

2.2.9.

∑_{n=1}^{∞} \frac{cos (2\sqrt{n}x + 1)}{n^{2}\sqrt{n} + n + 9}

a) Milyen x-re konvergens a függvénysor?

b) Mutassa meg, hogy ∀ x ∈ ℝ esetén differenciálható a sor összegfüggvénye!

2.2.10.

Igaz-e az alábbi állítás minden valós x-re?

\frac{d}{dx} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1 + cos (n^{3} + \sqrt{n} x)}{4\sqrt{n^{5}} + 3} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{d}{dx} \frac{1 + cos (n^{3} + \sqrt{n} x)}{4\sqrt{n^{5}} + 3}

2.3.

2.3.1.

Adja meg a

∑_{k=1}^{∞} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!} x^{k}

sor konvergencia sugarát!

2.3.2.

Határozza meg az alábbi hatványsor konvergencia sugarát!

∑_{n=1}^{∞} \frac{(2n)^{2n}}{(2n)!} x^{n}

2.3.3.

Keresse meg a ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n} \frac{n}{3^{n}} (x + 1)^{n} sor konvergencia tartományát!

2.3.4.

Adja meg az alábbi sor konvergenciatartományát!

∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n} \frac{3^{2n}}{n^{2}} x^{n}

2.3.5.

Milyen x-re konvergens a ∑_{n=1}^{∞} \frac{3^{n}}{n^{4}} (x − 4)^{n} sor?

2.3.6.

∑_{k=1}^{∞} \frac{(k + 3) x^{k}}{4^{k−1}}

a) Adja meg a sor konvergenciatartományát!

b) Adjon meg egy olyan intervallumot, ahol a sor egyenletesen konvergens!

c) Adja meg a ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k + 3) (x + 1)^{2k}}{4^{k−1}} sor konvergenciatartományát!

2.3.7.

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−2)^{n}}{n^{2}} x^{n}

a) Adja meg a sor konvergencia tartományát!

Adjon meg egy olyan [α, β] intervallumot, ahol alkalmazható a tagonkénti integrálásról szóló tétel! Ezt a tételt is írja le!

b) Hol konvergens a ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−2)^{n}}{n^{2}} (x + 3)^{n} , illetve a ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−2)^{n}}{n^{2}} x^{3n} sor?

2.3.8.

a) Határozza meg a

∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} k x^{k}

hatványsor konvergenciasugarát és az összegfüggvényét!

Jelöljük T (x)-szel az összegfüggvényt!

b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k} k · 2^{k}}{3^{k+1}} = ?

c) T^{(10)}(x)|_{x=0} = ?

2.4.

2.4.1.

Definiálja az x_{0} bázispontú Taylor sort!

Írja fel a Lagrange-féle hibatagot! Mi a kapcsolata az f függvénnyel és a Taylor sorral? Adjon elégséges feltételt az f(x) = T (x) egyenlőségre!

2.4.2.

a) Hogyan definiáljuk egy f függvény x_{0} körüli Taylor sorát?

b) Milyen alakú lehet a konvergencia tartománya?

c) Milyen elégséges tételt tanultunk arra, hogy f megegyezzék Taylor sorával? d) Határozza meg az f(x) = sin x Taylor sorát x_{0} = 0 esetén, és igazolja, hogy f(x)

megegyezik a Taylor sorával!

2.4.3.

A Taylor sor definíciójával határozza meg az

f(x) = sh x

függvény x_{0} = 0 körüli Taylor sorát!

2.4.4.

Írja fel az f(x) = e^{2x} függvény x_{0} = 0 , illetve x_{0} = 1 bázispontú Taylor sorát!

2.4.5.

Határozza meg

f(x) = \frac{1}{1 + 8x^{3}}

függvény x_{0} = 0 körüli Taylor sorát és annak konvergenciasugarát!

2.4.6.

Írja fel az f(x) = \frac{2}{8 − x} függvény x_{0} = 0 pontra támaszkodó Taylor sorát és adja meg annak konvergencia tartományát!

2.4.7.

Adja meg az alábbi függvények x_{0} = 0 bázispontú Taylor sorát és annak konvergenciatartományát!

f(x) = \frac{1}{1 + 9x^{2}} g(x) = ch 2x

2.4.8.

Írja fel az alábbi függvények x_{0} = 0 körüli Taylor sorát és határozza meg annak konvergencia tartományát!

a) f(x) = e^{2−x^{2}}

b) g(x) = \frac{1}{x + 4}

2.4.9.

Írja fel az alábbi függvények x_{0} = 1 körüli Taylor sorát és annak konvergencia tartományát:

f(x) = \frac{1}{4 − x} g(x) = e^{x−1}

2.4.10.

Írja fel az alábbi függvények x_{0} = 2 körüli Taylor sorát és annak konvergenciatartományát!

f(x) = \frac{1}{5 − x} g(x) = sin (x − 2)

2.4.11.

Fejtse Taylor sorba az alábbi függvényeket, és adja meg a sorok konvergenciatartományát!

a) f(x) = \frac{1}{x − 5} , x_{0} = 3

b) g(x) = e^{3x} , x_{0} = −1

2.4.12.

A tanult módszerrel írja fel az

f(x) = arctg x

függvény x_{0} = 0 bázispontú Taylor sorát! Ennek felhasználásával adja meg a

g(x) = arctg 5x^{2}

függvény Taylor sorát és annak konvergencia sugarát!

2.4.13.

a) Határozza meg az alábbi függvények x_{0} = 0 körüli Taylor sorait, azok konvergencia sugarait:

f(x) = \frac{1}{1 + x^{2}} ,  g_{1}(x) = arctg x g_{2}(x) = arctg (3x) ,  h_{1}(x) = arctg x − x h_{2}(x) = arctg (3x) − 3x

b) Az a) alapján határozza meg a

lim_{x→0} \frac{arctg x − x}{arctg (3x) − 3x}

határértéket.

2.4.14.

a) Írja fel az f(x) = ch 2x és a g(x) = cos 2x x_{0} = 0 körüli Taylor sorait!

b) Adja meg A ≠ 0, α ≠ 0 értékét úgy, hogy

ch \frac{2}{\sqrt{n}} − cos \frac{2}{\sqrt{n}} ∼ An^{α}.

c) Bizonyítsa be, hogy a

∑_{n=1}^{∞} (ch \frac{2}{\sqrt{n}} − cos \frac{2}{\sqrt{n}}) \frac{cos nx}{n}, x ∈ ℝ

egyenletesen konvergens!

2.5.

2.5.1.

Írja fel az

f(x) = \frac{1}{\sqrt[5]{1 + 2x^{2}}}

függvény x_{0} = 0 bázispontú Taylor sorát és határozza meg konvergencia sugarát! Írja fel x^{4} együtthatóját!

2.5.2.

f(x) = \frac{1}{\sqrt[6]{1 + 4x^{3}}}

Adja meg a függvény x_{0} = 0 körüli Taylor sorának konvergenciasugarát valamint 9-edfokú Taylor polinomját!

2.5.3.

Írja fel az alábbi f, g és g′ függvények x_{0} = 0 körüli ötödik Taylor polinomjait és a megfelelő Taylor sorok konvergencia sugarait:

f(x) = \sqrt[7]{1 + x},  g(x) = \sqrt[7]{1 + 2x^{2}},  g′(x) = \frac{d}{dx}\sqrt[7]{1 + 2x^{2}}.

2.5.4.

f(x) = \sqrt[9]{1 + 3x^{2}}

Adja meg az f függvény x_{0} = 0 bázispontú Taylor sorát és annak konvergencia sugarát! f^{IV} (0) = ? (A sorfejtésből adjon választ!)

2.5.5.

Írja fel az alábbi függvények x_{0} = 0 körüli Taylor sorait (annak első négy nem nulla tagját) valamint az egyes Taylor sorok konvergenciasugarát!

f(x) = \sqrt[7]{(1 + x)^{2}} , g(x) = \sqrt[7]{(1 + 3x^{2})^{2}}

(A Taylor sor együtthatóit szorzatalakban is megadhatja.)

2.5.6.

Adja meg az

f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{8 + 24x^{2}}}

függvény x_{0} = 0 bázispontú Taylor sorát és annak konvergenciasugarát! f(x) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} jelölés mellett a_{6} = ?

2.5.7.

f(x) = \sqrt[4]{16 + 3x^{4}}  f^{(11)}(0) = ? ,  f^{(12)}(0) = ? ,  R = ?

(A deriváltakat szorzatalakban adja meg!)

3. Többváltozós függvények

3.1.

3.1.1.

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{2x + 3y}{4x + 15y} = ?

3.1.2.

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{x^{2} + 2y^{4}}{2x^{2} + 3y^{2}} = ?

3.1.3.

lim_{(x,y)→(0,0)} \frac{xy + x^{2}}{2x^{2} + 3y^{2}} = ?

3.1.4.

Legyen

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{3xy}{x^{2} + 2y^{2}} , & ha x^{2} + y^{2} ≠ 0 \\ 0 , & ha x^{2} + y^{2} = 0 \end{matrix}

a) Keresse meg az y = mx egyenesek mentén a függvény határértékét az origóban!

b) lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = ?

3.1.5.

f(x, y) = \frac{2x^{2} − 3y^{2}}{x^{2} + 5y^{2}}  lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = ?

3.2.

3.2.1.

f(x, y) = \{ \begin{matrix}2x + \frac{x · sin y}{x^{2} + y^{2}} , & ha(x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & ha(x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) Határozza meg f határértékét az origóban az y = mx egyenesek mentén! Folytonos-e f az origóban?

b) Adja meg f′_{x}-et, ahol az létezik!

3.2.2.

Írja fel az

f(x, y) = \frac{(x^{2} + 1) y}{e^{2y}}

függvény összes másodrendű parciális deriváltját!

3.2.3.

Forgassa meg az (x, z) sík z = ch x görbéjét a z tengely körül. Adja meg a kapott forgásfelületet egy kétváltozós függvény grafikonjaként! Mennyi ennek a függvénynek az x szerinti parciális deriváltja az x_{0} = 1, y_{0} = 0 pontban?

3.2.4.

a) Mikor mondjuk, hogy f totálisan differenciálható az (x_{0}, y_{0})-ban?

b) Milyen elégséges feltétel adható f totális differenciálhatóságára?

c) Milyen kapcsolat van f totális differenciálhatósága és folytonossága között? (Állítását bizonyítsa be, ill. adjon ellenpéldát!)

3.2.5.

Legyen f(x, y) = \frac{x + 2y}{x − 2y}; f(0, 0) = 0.

a) lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) = ?

b) Totálisan differenciálható-e f az origóban?

3.2.6.

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{3x^{2} + 4y^{2}}{2x^{2} + y^{2}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ \frac{7}{3} , & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) Folytonos-e a függvény az origóban?

b) grad f|_{(1,0)} = ?

3.3.

3.3.1.

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{(y + 1)x^{2}}{x^{2} + 2y^{2}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 1 , & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) Folytonos-e a függvény az origóban? Totálisan deriválható-e a függvény az origóban?

b) Adja meg f′_{x}(x, y)-t, ahol létezik!

c) Adja meg az iránymenti derivált definícióját! Adjon elégséges feltételt a kiszámítására!

3.3.2.

Határozza meg az

f(x, y) = \frac{(y^{2} + 1)(x + 1)}{e^{2x}}

függvény érintősíkjának az egyenletét az x_{0} = 0, y_{0} = 1-hez tartozó pontban!

3.3.3.

Legyen

f(x, y) = \frac{e^{x+3y}}{x}

a) Határozza meg az f függvény gradiensét az x_{0} = 1, y_{0} = 0 koordinátájú pontban!

b) Írja fel az f függvény P pontbeli érintősíkjának az egyenletét!

3.3.4.

f(x, y) = xy^{2} − \frac{y}{(x + 1)^{2}}

a) gradf|_{(1,2)} = ?

b) Írja fel az (1, 2) ponthoz tartozó felületi pontban az érintősík egyenletét!

3.3.5.

f(x, y) = xy^{2} − \frac{y}{(x + 1)^{2}}

Írja fel az (1, 2) ponthoz tartozó felületi pontban az érintősík egyenletét! 3.3.6.

f(x, y) = arctg \frac{y}{x}

a) Írja fel a P_{0}(1, 1) pontbeli érintősík egyenletét!

b) Határozza meg az x > 0 félsík azon pontjait, amelyekben f′′_{xx} + f′′_{yy} = 0. 3.3.7.

f(x, y) = xy^{2} − \frac{y}{(x + 1)^{2}}

a) grad f|_{(1,2)} = ?

b) Írja fel az (1, 2) ponthoz tartozó felületi pontban az érintősík egyenletét! 3.3.8.

f(x, y) = xy^{2}e^{2x}

f′_{x} = ? f′_{y} = ?

Írja fel a P_{0}(1, −1) pontbeli érintősík egyenletét! 3.3.9.

Legyen

f(x, y, z) = x^{2}yz + xy^{2}z^{2} + x^{3}z^{3}

a) Írja fel az f függvény P_{0}(1, 2, −1) pontbeli gradiensét!

b) Határozza meg az f függvény P_{0}(1, 2, −1) pontbeli \underline{v} = 2 \underline{i}−3 \underline{j}+5 \underline{k} irányú iránymenti

deriváltját! 3.3.10.

f(x, y, z) = (2x + 1) e^{3z} + ln 2y P_{0} = (1, 1, 0)

a) grad f|_{P_{0}} = ?

b) \frac{df}{d\underline{e}} |_{P_{0}} = ? \underline{e} ∥ (3\underline{i} − 4\underline{k})

3.3.11.

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2} + y^{2}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) Folytonos-e a függvény az origóban?

b) Az iránymenti derivált definíciójával vizsgálja meg, hogy létezik-e az iránymenti derivált az origóban, ha \underline{e} ∥ 3 \underline{i} − 4 \underline{j} !

3.3.12.

Legyen

f(x, y) = xy + y^{2} + 3x^{2} − 6x + 7y,  P_{0}(0, 0),  \underline{e} ∥ 2 \underline{i} − \underline{j}

a) Indokolja meg, hogy f totálisan differenciálható! \frac{∂f}{∂\underline{e}} |_{P_{0}} = ?

b) Írja le a kétváltozós függvény iránymenti deriváltjának definícióját, és számolja ki ennek

alapján is a \frac{∂f}{∂\underline{e}} |_{P_{0}} értékét!

3.3.13.

f(x, y) = \frac{e^{2y−1}}{x^{2} + 1}

a) Hol létezik grad f ? Ahol létezik, írja fel!

b) \frac{df}{d\underline{e}} |_{P_{0}} = ? P_{0} (−1, \frac{1}{2}) , \underline{e} ∥ 3\underline{i} − 4\underline{j}

3.3.14.

f(x, y) = \{ \begin{matrix}\frac{2x^{2}y}{x^{2} + y^{2}} , & ha (x, y) ≠ (0, 0) \\ 0, & ha (x, y) = (0, 0) \end{matrix}

a) Folytonos-e f az origóban?

b) Írja fel f′_{x}-et, ahol az létezik!

c) \frac{df}{d\underline{e}} |_{(0,0)} , ha \underline{e} ∥ \underline{i} − \underline{j} (A definícióval dolgozzon!)

3.3.15.

f(x, y) = \frac{5x − 3y}{2x + 4y} (x_{0}, y_{0}) = (0, 1)

a) grad f(x_{0}, y_{0}) = ? , df ((x_{0}, y_{0}), (h, k)) = ?

b) Milyen irányban lesz az (x_{0}, y_{0}) pontban az iránymenti derivált maximális? Adja meg ezt a maximális értéket is!

3.3.16.

f(x, y) = x^{2y}

Adja meg a P_{0}(2, 1) pontban a maximális iránymenti derivált irányát és értéket!

3.3.17.

f(x, y) = \sqrt{x^{2} + 3y^{4}}

a) f′_{x}(0, 0) = ?; f′_{y}(0, 0) = ? (A definícióval dolgozzon!)

b) grad f|_{(1,2)} = ?

c) Adja meg max \frac{df}{d\underline{e}} |_{(1,2)} értékét és irányát!

3.4.

3.4.1.

f(x, y) = e^{y^{2}} cos πx P_{0} = (x_{0}, y_{0}) = (−1, 1)

a) df ((x_{0}, y_{0}), (h, k)) = ? d^{2}f ((x_{0}, y_{0}), (h, k)) = ?

b) Írja fel a P_{0} pontbeli érintősík egyenletét!

3.4.2.

f(x, y) = h(xy + x^{2}) h ∈ C_{ℝ}^{2}

f′_{x} = ?; f′′_{xy} = ?

3.4.3.

h(x, y) = f(xy^{2}), f ∈ C_{ℝ}^{2}

h′_{x} = ? h′′_{xy} = ?

3.5.

3.5.1.

Van-e lokális szélsőértéke az

f(x, y) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}

függvénynek az x = 0, y = \frac{1}{2} pontban?

3.5.2.

Legyen

f(x, y) = xy + x^{2} − x + y − 2

Van-e az f-nek lokális szélsőértéke?

3.5.3.

f(x, y) = (x + 5)(y + x − 1)

a) Hol teljesül a lokális szélsőérték létezésének szükséges feltétele?

b) Van-e f-nek lokális szélsőértéke?

3.5.4.

f(x, y) = y^{5} − 80y + 12x^{3} − x

Hol van lokális szélsőértéke a függvénynek?

3.5.5.

Határozza meg az

f(x, y) = 2x + y + \frac{4}{xy}

függvény lokális maximum ill. minimum helyeit, amennyiben vannak egyáltalán!

3.5.6.

f(x, y) = x^{3} − 12x + 3 + 2y^{2} − y

Keresse meg a lokális szélsőérték helyeket!

3.5.7.

Legyen

f(x, y) = (x − y + 1)^{2} − (x^{2} − 2)^{2}

Keresse meg az f függvény lokális szélsőértékeit!

3.5.8.

a) Fogalmazza meg a kétváltozós függvényekre vonatkozó Weierstrass tételeket!

b) Legyen f(x, y) = (3y + 6x − 4)^{2} + 9(x + y)^{2}, és T az x ≥ 0, y ≥ 0, y + x ≤ \frac{1}{3} egyenlőtlenségekkel adott tartomány! Indokolja meg, hogy f-nek a T tartományon létezik az abszolút maximuma és minimuma, és határozza meg azokat!

3.5.9.

f(x, y) = x^{2} − 6x + 1 + \frac{y^{3}}{3} − 3y

a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit!

b) Létezik-e min_{(x,y)∈T} {f(x, y)} ill. max_{(x,y)∈T} {f(x, y)}, ha T : y ≤ x, y ≥ 0, x ≤ 5 ?

Ha igen, határozza meg!

3.5.10.

Legyen

f(x, y) = (y + 2x − 4)^{2} + (y + x)^{2}

és tekintsük a 0 ≤ x, 0 ≤ y és az y + x ≤ 1 egyenlőtlenségekkel adott T tartományt! Van-e az f függvénynek a T tartományon abszolút maximuma illetve minimuma? Ha igen, akkor határozza meg!

3.6.

3.6.1.

∫∫_{T} (2x − y) dT = ?,

ha T az A(0, 0), B(5, 0) és a C(4, 2) pontok által meghatározott háromszög?

3.6.2. a) Cserélje meg az integrálás sorrendjét!

∫_{0}^{1} ∫_{x}^{2−x}f(x, y) dy dx

b) ∫∫_{T} (x^{2} + y^{2} − 1)^{2} dT = ? , ha T : x^{2} + y^{2} ≤ 4, y ≥ 0

3.6.3.

a) Adja meg a Descartes-féle koordinátáknak a polárkoordinátáktól való függését! Vezesse le a Jacobi determináns értékét! (Mit értünk Jacobi determinánson?) Hogyan kell végrehajtani a polárkoordinátás helyettesítést a

∫∫_{A} f(x, y) dx dy

integrálon? b)

∫∫_{T} \frac{1}{(x^{2} + y^{2})(ln \sqrt{x^{2} + y^{2}})^{2}} dT = ? T : x^{2} + y^{2} ≥ e^{2}, x ≥ 0, y ≥ 0

3.6.4.

∫∫_{T} y dT = ?, ha T : x^{2} − 4x + y^{2} ≤ 0; y ≥ x

3.6.5.

∫∫_{T} \frac{1}{(x^{2} + y^{2}) ln^{3} (\sqrt{x^{2} + y^{2}})} dxdy = ?

T : x^{2} + y^{2} ≤ \frac{1}{e^{2}} , x ≥ 0 , y ≥ 0

3.6.6.

∫∫_{T} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy = ?

T : x^{2} + y^{2} − 4x ≤ 0 , y ≥ 0

3.6.7.

a) ∫∫_{T} (x + 2y) dx dy = ? T : \{ \begin{matrix}|x| + |y| ≤ 1 \\ x ≥ 0 \end{matrix} \}

b) Végezze el az x + 2y = u, x = v helyettesítést a fenti integrálban!

3.7.

3.7.1.

Mit nevezünk hengerkoordinátáknak? Határozza meg a hengerkoordinátákra való áttéres Jacobi determinánsát! (Mit nevezünk Jacobi determinánsnak?)

3.7.2.

a) Írja fel az f(x, y) függvény alsó integrálközelítő összegét! Adja meg a jelölések tartalmát!

b) Adja meg a hengerkoordináták jelentését, és ismertesse a hengerkoordinátás transzformációt! Vezesse le a Jacobi determináns értékét!

c) ∫∫∫_{V} z^{2} dV = ? V : \begin{matrix}0 ≤ z ≤ 16 − x^{2} − y^{2} \\ x^{2} + y^{2} ≤ 4; y ≥ 0 \end{matrix}

3.7.3.

a) Határozza meg a polártranszformáció Jacobi determinánsát!

b) ∫∫∫_{V} x^{2} + y^{2} dV = ?,

ha V a z = x^{2} +y^{2} −4 és a z = 5−3(x^{2} +y^{2}) felületek által határolt korlátos térrész.

3.7.4.

∫∫∫_{V} x^{2} dx dy dz = ?

V :  1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4 ,  0 ≤ z ≤ 9 − x^{2} − y^{2}

3.7.5.

Számítsa ki az

z = 12 − (x^{2} + y^{2}) és a z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

felületek által határolt korlátos térrész térfogatát!

3.7.6.

∫∫∫_{V} x^{2} + y^{2} dV = ? V : tetszőleges 2 magasságú, z tenghelyű henger

3.7.7.

∫∫∫_{V} z dV = ? V : 0 ≤ z ≤ 4 − x^{2} − y^{2} , x^{2} + y^{2} ≤ 1

3.7.8.

∫∫∫_{V} x^{2} dV = ? V : \sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z ≤ 4 , y ≥ 0

3.7.9.

a) Mit nevezünk gömbi koordinátáknak? (Mi az egyes koordináták jelentése?)

b) Határozza meg a gömbi koordinátákra való áttérés Jacobi determinánsát!

c)

∫∫∫_{R^{3}} \frac{1}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} dx dy dz = ? (gömbi koordinátákkal)

II. rész Megoldás

1. Differenciálegyenletek

1.1.

1.1.1.

y = −\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{3} cos 3x + 1}}

1.1.3.

y = arsh (Ce^{ch x}); C ∈ R

1.1.4.

y = \frac{1}{3} (2 + C (2x + 1)^{\frac{3}{2}} ) , C ∈ R

1.1.5.

−\frac{1}{3(y + 1)^{3}} = −\frac{1}{x} + C, illetve y ≡ −1 (x > 0 vagy x < 0)

1.1.6.

y = −2 + \frac{1}{− arctg x + C} , illetve y ≡ −2

y(1) = −1 : y = −2 + \frac{1}{− arctg x − 1 − \frac{π}{4}}

1.1.7.

y = ln (Ce^{x} + e), illetve y ≡ 1

y(0) = 1 : y ≡ 1 ; y(0) = 2 : y = ln ((e^{2} − e)e^{x} + e)

1.1.9.

y^{2} − 2y + 3 = Ke^{− \frac{1}{(x+1)^{2}}} K > 0 és y ≠ 1 , x ≠ −1

Részletezve:

y = 1 + \sqrt{Ke^{− \frac{1}{(x+1)^{2}}} − 2} , y > 1 és (x > −1 vagy x < −1)

y = 1 − \sqrt{Ke^{− \frac{1}{(x+1)^{2}}} − 2} , y < 1 és (x > −1 vagy x < −1)

1.1.10.

y^{2} − 6y + 8 = C(x + 5) és y ≠ 3 , x ≠ −5 Részletezve: y = 3 + \sqrt{1 + C(x + 5)} , y > 3 és (x > −5 vagy x < −5) y = 3 − \sqrt{1 + C(x + 5)} , y < 3 és (x > −5 vagy x < −5) , illetve y ≡ 2 , de x > −5 vagy x < −5 illetve y ≡ 4 , de x > −5 vagy x < −5

a) y ≡ 2 , x > −5

b) y = 3 − \sqrt{1 + \frac{3}{5}(x + 5)} , x > −5

1.2.

1.2.2.

a) y = Cx^{2} C ∈ ℝ , x ≠ 0

b) y = Cx^{2} + \frac{x^{4}}{2} C ∈ ℝ , x ≠ 0

1.2.3.

y = Cx + x ln \sqrt{1 + x^{2}} 1.2.4.

y = −\frac{1}{2} + Ce^{2x^{2}} C ∈ ℝ

1.2.5.

y = \frac{C}{x^{3}} + x^{2} − x , x ≠ 0

1.2.6.

y = Ce^{x^{2}} + \frac{x^{4}}{4} e^{x^{2}}

1.2.7.

y = Cx^{4} − \frac{1}{2} e^{−2x} x^{4} , x ≠ 0

1.2.8.

y = C(e^{x} + 5) − \frac{e^{x} + 5}{e^{x}}

1.3.

1.3.1.

u′x = u^{2} − 2u + 1 ⟹ \frac{y}{x} − 1 = \frac{1}{− ln x + C} (x > 0)

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Kónya I. – Fritz Jné – Győri S.  M–2  v1.0

1.3.2.

u′ = u^{2} ⟹ −\frac{1}{y + 2x} = x + C , illetve y = −2x

y(1) = −3 : y = −\frac{1}{x} − 2x , x > 0

1.3.4.

y = \sqrt[3]{Ce^{2x} − 1 + e^{3x}}

1.3.5.

u′ − \frac{u}{x} = x^{3} elsőrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet (x ≠ 0)

1.3.6.

y = e^{2x}

1.4.

1.4.2.

a) Pl. |x − 2| ≤ 1 ; |y − 5| ≤ 1 (zárt) téglalapon f és f′_{y} = \frac{−1}{(y − x)^{2}} folytonos

⟹ ∃ az x_{0} = 2 pontnak egy olyan környezete, melyben az adott kezdeti érték problémának pontosan egy megoldása van.

b) y′(2) = (f(2, 5) =) \frac{4}{3} : a vonalelem meredeksége. Tehát az \frac{y − x + 1}{y − x} = \frac{4}{3} feltételnek

eleget tevő pontokban ugyanilyen irányú az iránymező.

c) T_{2}(x) = 5 + \frac{4}{3} (x − 2) + \frac{\frac{−1}{27}}{2!} (x − 2)^{2}

1.4.4.

a) y′(1) = f(1, 2) = 1 = m Az izoklina: x^{2} + y^{2} − 2xy = 1 ⟹ y = x ± 1

b) Szükséges feltétel:

y′ = 0 = (y − x)^{2} ⟹ y = x pontjaiban lehet lokális szélsőérték.

y′′ = ⋯ = 2x − 2y + 2y′ (y − x) ⟹ az y = x egyenes pontjaiban y′′ = 0 és y′′′ = 2 ⟹ y = x pontjaiban nincs lokális szélsőérték. Jobb megoldás: y′ = (y − x)^{2} ≥ 0 ⟹ nincs lokális szélsőérték

1.5.

1.5.1.

a) y = C_{1}e^{−x} + C_{2}e^{3x}; y = −e^{−x} + e^{3x}

b) y = C_{1}e^{−x} + C_{2}e^{3x} − x + \frac{2}{3}

c) y = C_{1}e^{−x} + C_{2}e^{3x} + sin x + cos x

1.5.2.

y = C_{1}e^{−3x} + C_{2}e^{x} + \frac{1}{32}e^{5x}

1.5.3.

y = C_{1}e^{3x} + C_{2}xe^{3x} + 3x^{2} + 4x + 2

1.5.4.

y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{−2x} + 2xe^{x} − x − \frac{1}{2}

1.5.5.

y = C_{1} + C_{2}e^{−8x} − \frac{1}{2} sin 2x − 2 cos 2x

1.5.6.

y = C_{1}e^{−5x} cos 2x + C_{2}e^{−5x} sin 2x − \frac{1}{29} e^{29x}

1.5.10.

y = C_{1} + C_{2} cos 3x + C_{3} sin 3x + \frac{1}{9}x^{3} − \frac{2}{27}x

1.5.11.

y = C_{1} + C_{2} cos 2x + C_{3} sin 2x + 2x^{3} − 3x

1.6.

1.6.2.

xe^{3y^{2}} + x^{2} + 2x + x^{2}y^{3} + 3y^{3} = C

y(1) = 0 : xe^{3y^{2}} + x^{2} + 2x + x^{2}y^{3} + 3y^{3} = 4

1.6.5.

ye^{y^{2}+2x} + 3x^{2} + 3y = C

1.6.6.

x^{2}e^{2y} + 3x^{2} + sin xy − 6y = C

y(1) = 0 : x^{2}e^{2y} + 3x^{2} + sin xy − 6y = 4

1.6.7.

e^{2x+y} + \frac{x^{2}}{2} + y^{3} = C

y(0) = 1 : e^{2x+y} + \frac{x^{2}}{2} + y^{3} = e + 1

1.6.10.

a) \frac{μ′(x − y^{2})}{μ(x − y^{2})} = \frac{h′_{x} − g′_{y}}{−2y · g − h} = f(x − y^{2}) -nek kell teljesülnie

b) μ(x − y^{2}) = x − y^{2}

1.7.

1.7.1.

λ_{1} = 2, \underline{s}_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}); λ_{2} = −1, \underline{s}_{2} = (\begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , λ_{3} = 1, \underline{s}_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

λ_{1} = −1, \underline{s}_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , λ_{2} = λ_{3} = 1, \underline{s}_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , \underline{s}_{3} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

1.7.3.

λ_{1} = 2, \underline{s}_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , λ_{2} = 2 + i, \underline{s}_{2} = (\begin{matrix}0 \\ −1 \\ 1 + i \end{matrix}) , λ_{3} = 2 − i, \underline{s}_{3} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 + i \end{matrix})

1.7.4.

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0, \underline{s}_{1} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , λ_{4} = 1, \underline{s}_{2} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ −1 \end{matrix})

2. Függvénysorozatok, függvénysorok

2.1.

2.1.1.

f(x) = 3x, x ∈ ℝ

2.1.2.

f(x) = lim_{n→∞} \frac{\frac{x^{2}}{n^{3}} − x}{\frac{x^{4}}{n^{3}} + 1 + \frac{3}{n^{3}}} = −x, D_{f} = ℝ

2.1.3.

f(x) = lim_{n→∞} \frac{x + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{3}}}{x + (x + 2)\frac{1}{n} + \frac{1}{n^{3}}} = 1, ha x > 0

f(0) = lim_{n→∞} f_{n}(0) = lim_{n→∞} \frac{n^{2} + 1}{2n^{2} + 1} = \frac{1}{2}

Tehát f(x) = \{ \begin{matrix}1, & ha x > 0 \\ \frac{1}{2}, & ha x = 0 \end{matrix}

2.1.4.

f(x) = lim_{n→∞} f_{n}(x) = \{ \begin{matrix}\frac{x}{2}, & ha x > 0 \\ \frac{1}{5}, & ha x = 0 \end{matrix}

Nem egyenletes a konvergencia, mert a határfüggvény nem folytonos.

(Az f_{n} függvények folytonosak.)

2.1.6.

a) f(x) = lim_{n→∞} (1 + \frac{sin nx}{n}) = 1; D_{f} = ℝ

b) ||f_{n} − f|| = sup_{x∈ℝ} \frac{| sin nx|}{n} = \frac{1}{n}

2.1.7.

a) f(x) ≡ 0, x ∈ ℝ

b) ||f_{n} − f|| = sup_{x∈ℝ} \frac{1}{x^{2} + n^{4}} = \frac{1}{n^{4}}

2.1.8.

a) f(x) ≡ 0

b) ||f − f_{n}|| = ⋯ = f_{n} (\frac{n}{2}) = \frac{1}{4n} → 0 , egyenletes a konvergencia.

2.1.9.

a) f(x) = lim_{n→∞} (\frac{−x^{2}}{n} + (1 + \frac{4}{n}) x) = x

b) ||f_{n} − f|| = sup_{x∈[0,3]} \frac{−x^{2} + 4x}{n} = \frac{−x^{2} + 4x}{n}|_{x=2} = \frac{4}{n}

c) lim_{n→∞} ||f_{n} − f|| = lim_{n→∞} \frac{4}{n} = 0 ⟹ egyenletes a konv.

2.1.10.

a) f(x) = \frac{1}{x + 1}

b) ||f_{n} − f|| = \frac{\sqrt[n]{n} − 1}{\sqrt[n]{n}}

c) ||f_{n} − f|| → 0 , egyenletes a konvergencia.

2.1.12.

f(x) = \{ \begin{matrix}1, & ha x = 0 \\ 2x^{2}, & ha x > 0 \end{matrix} ((\frac{1}{e^{x^{2}}} )^{n} → 0, ha x ≠ 0)

[0, 1] -en nem egyenletes a konvergencia, mert f_{n} -ek folytonosak, de f nem.

[1, 2] -ön: ||f_{n} − f|| = sup_{x∈[1,2]} |2x^{2} + (\frac{1}{e^{x^{2}}} )^{n} − 2x^{2}| = (\frac{1}{e})^{n} → 0 , tehát egyenletes a

konvergencia.

2.1.13.

a) f(x) = e^{2x}, x ∈ ℝ

b) ||f_{n} − f|| = sup_{x∈ℝ} \begin{matrix}sin & 2 & (n^{3}x^{2}) \\ √ & \overline{2n^{2} + 3} \end{matrix} = \frac{1}{\sqrt{2n^{2} + 3}} → 0

a konvergencia egyenletes és az f_{n} függvények folytonosak

⟹ lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} f_{n}(x) dx = ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} f_{n}(x) dx = ∫_{0}^{1} e^{2x} dx = \frac{1}{2}(e^{2} − 1)

2.2.

2.2.1.

∑_{n=1}^{∞} (2e^{x})^{n} = \frac{2e^{x}}{1 − 2e^{x}} (geom. sor), ha |2e^{x}| < 1, vagyis x ∈ (−∞, − ln 2)

2.2.2.

s(x) = 2 \frac{(ln x)^{2}}{1 − ln x}, ha −1 < ln x < 1 , vagyis \frac{1}{e} < x < e 2.2.3.

|f_{k}(x)| < \frac{1}{k^{2}} , ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} konvergens ⟹ ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x) egyenletesen konvergens x ∈ ℝ-en. (Weierstrass kritérium.)

2.2.4.

|f_{k}(x)| ≤ \frac{1}{3^{k}} , x ∈ ℝ és ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{3^{k}} konvergens (geometriai sor)

⟹ ∑_{k=1}^{∞} f_{k}(x) egyenletesen konvergens ℝ -en.

2.2.6.

∑_{k=0}^{∞} f_{k}(x) :

|f_{k}(x)| ≤ (\frac{2}{3})^{k} , ∑_{k=0}^{∞} (\frac{2}{3})^{k} konvergens ⟹ ∑_{k=0}^{∞} f_{k}(x) egyenletesen konvergens a [0, π] intervallumon (ℝ-en is) és az f_{k} függvények folytonosak. Az előzőek miatt a ∑^{∞} és az integrál jel felcserélhető.

2.2.7.

|f_{n}(x)| ≤ (\frac{1}{3})^{n} , ∑_{n=1}^{∞} (\frac{1}{3})^{n} konv. geom. sor ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) egyenletesen konv. (−∞, ∞)-en, és f_{n} ∈ C_{ℝ}^{0} ⟹ az összegfüggvény mindenütt folytonos és ∀ [a, b]-n tagonként integrálható.

2.2.8.

a) |f_{n}(x)| < \frac{1}{n^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} konvergens ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) egyenletesen konvergens ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) (pontonként) konvergens x ∈ ℝ-en

b) |f′_{n}(x)| = \frac{|\frac{1}{n^{2}} sin \frac{x+1}{n^{2}} |}{n^{2} + 3n + 8} < \frac{1}{n^{4}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} konvergens ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x) egyenl. konv.

Tehát a feltételek teljesülnek, így ∀x ∈ ℝ-re deriválható a sor összegfüggvénye. 2.2.10.

|f_{n}(x)| ≤ \frac{2}{\sqrt{n^{5}}} , x ∈ ℝ és 2 ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{5/2}} konv. ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) egyenl. konv.

⟹ ∑_{n=1}^{∞} f_{n}(x) konv. ℝ-en.

∑_{1}^{∞} f′_{n}(x) = ∑_{1}^{∞} \frac{− sin (n^{3} + \sqrt{n} x) · \sqrt{x}}{4\sqrt{n^{5}} + 3}

|f′_{n}(x)| ≤ \begin{matrix}√ & \overline{n} \\ √ & \overline{n^{5}} \end{matrix} = \frac{1}{n^{2}} , x ∈ ℝ és ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} konv. ⟹ ∑_{n=1}^{∞} f′_{n}(x) egyenl. konv.

A fentiek miatt a sor tagonként deriválható.

2.3.

2.3.1.

lim_{k→∞} |\frac{a_{k+1}}{a_{k}} | = ⋯ = lim_{k→∞} \frac{(k + 1)^{2}}{(2k + 2)(2k + 1)} = \frac{1}{4}, R = 4

2.3.2.

lim_{n→∞} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}} | = ⋯ = lim_{n→∞} ((1 + \frac{1}{n})^{n})^{2} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{2n}} = e^{2} ⟹ R = \frac{1}{e^{2}}

2.3.3.

lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{n}}{3} = \frac{1}{3} ⟹ R = 3

x = −4 : ∑^{∞} \frac{1}{n} div.

x = 2 : ∑^{∞} (−1)^{n} \frac{1}{n} konv.

KT.: (−4, 2]

2.3.5.

lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n→∞} \frac{3}{(\sqrt[n]{n})^{4}} = 3 = \frac{1}{R} ⟹ R = \frac{1}{3} , a végpontokban is konvergens.

Így a konvergencia tartomány: |x − 4| ≤ \frac{1}{3}

2.3.6.

a) (−4, 4)

b) Pl. [0, 1] (∀ [α, β] ⊂ (−4, 4) -ben egyenletes a konvergencia.)

c) z = (x + 1)^{2} helyettesítéssel a)-ra visszavezethető. Így a konvergencia tartomány: −4 < (x + 1)^{2} < 4 miatt |x + 1| < 2 , vagyis a (−3, 1) intervallum.

2.3.7.

a) lim_{n→∞} \sqrt[n]{|a_{n}|} = lim_{n→∞} \frac{2}{(\sqrt[n]{n})^{2}} = 2 = \frac{1}{R} ⟹ R = \frac{1}{2} , a végpontokban is konvergens.

Így a konvergencia tartomány: |x| ≤ \frac{1}{2}

Pl. [α, β] = [0, \frac{1}{3}]

A megfelelő tétel: l. Segédlet!

Megjegyzés:

∀ [α, β] ⊂ ( − \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) jó (tanult tétel). De most

|\frac{(−2)^{n}}{n^{2}} x^{n}| ≤ \frac{1}{n^{2}} , ha |x| ≤ \frac{1}{2}

Így a sor egyenletesen konvergens a [− \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumon is. Ezért [α, β] = [− \frac{1}{2}, \frac{1}{2}] is jó.

b) |x + 3| ≤ \frac{1}{2}

|x^{3}| ≤ \frac{1}{2} ⟹ |x| ≤ \frac{1}{\sqrt[3]{2}}

2.4.

2.4.4.

e^{2x} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{2^{k} x^{k}}{k!} , x ∈ ℝ

e^{2x} = e^{2(x−1)+2} = e^{2} ∑_{k=0}^{∞} \frac{2^{k} (x − 1)^{k}}{k!} , x ∈ ℝ

2.4.5.

f(x) = ∑_{k=0}^{∞} (−1)^{k}8^{k} x^{3k}

Konvergencia tartomány: | − 8x^{3}| < 1, R = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}

2.4.6.

f(x) = \frac{2}{8 − x} = \frac{1}{4} \frac{1}{1 − \frac{x}{8}} = \frac{1}{4} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{x}{8})^{n}

Konvergencia tartomány: |q| = |\frac{x}{8}| < 1 ⟹ |x| < 8

2.4.7.

f(x) = \frac{1}{1 + 9x^{2}} = \frac{1}{1 − (−9x^{2})} = ∑_{n=0}^{∞} (−9x^{2})^{n} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} 9^{n} x^{2n}

Konvergencia tartomány: |q| = | − 9x^{2}| < 1 ⟹ |x| < \frac{1}{3}

g(x) = ch 2x = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(2x)^{2n}}{(2n)!} , x ∈ ℝ

2.4.9.

f(x) = \frac{1}{3} \frac{1}{1 − \frac{x−1}{3}} = \frac{1}{3} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{x − 1}{3})^{n} KT.: |x − 1| < 3

g(x) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(x − 1)^{n}}{n!} , x ∈ ℝ

2.4.11.

f(x) = \frac{1}{x − 5} = \frac{1}{(x − 3) − 2} = −\frac{1}{2} \frac{1}{1 − \frac{x−3}{2}} = −\frac{1}{2} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{x − 3}{2})^{n} KT.: |x − 3| < 2

e^{3x} = e^{3(x+1)−3} = e^{−3} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(3(x + 1))^{n}}{n!} = e^{−3} ∑_{n=0}^{∞} \frac{3^{n}}{n!} (x + 1)^{n}, x ∈ ℝ

2.4.12.

arctg x = ∑_{k=0}^{∞} (−1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{2k + 1} |x| ≤ 1 L. Segédlet!

arctg 5x^{2} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k + 1} (5x^{2})^{2k+1} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k} 5^{2k+1}}{2k + 1} x^{4k+2}

K.T.: |5x^{2}| ≤ 1 ⟹ R = \frac{1}{\sqrt{5}}

2.5.

2.5.1.

f(x) = (1 + 2x^{2})^{−1/5} = ∑_{k=0}^{∞} \binom{−1/5}{k} 2^{k} x^{2k}, R = \frac{1}{\sqrt{2}}

a_{4} = \binom{−1/5}{2} 2^{2} = \frac{12}{25}

2.5.4.

∑_{k=0}^{∞} \binom{1/9}{k} 3^{k} x^{2k} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} x^{n} , R = \frac{1}{\sqrt{3}}

f^{IV} (0) = 4! a_{4} = 24 \binom{1/9}{2} 3^{2} = −\frac{32}{3}

2.5.6.

f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} \frac{1}{\sqrt[3]{1 + 3x^{2}}} = \frac{1}{2} (1 + 3x^{2})^{−1/3} = \frac{1}{2} ∑_{k=0}^{∞} \binom{−1/3}{k} 3^{k} x^{2k} , R = \frac{1}{\sqrt{3}}

2.5.7.

f(x) = \sqrt[4]{16} \sqrt[4]{1 + \frac{3x^{4}}{16}} = 2 (1 + \frac{3}{16} x^{4})^{1/4} =

= ∑_{k=0}^{∞} 2 \binom{1/4}{k} (\frac{3}{16})^{k} x^{4k} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n} x^{n} , R = \frac{2}{\sqrt[4]{3}}

f^{(11)}(0) = 11! a_{11} = 0

f^{(12)}(0) = 12! a_{12} = 12! 2 \binom{1/4}{3} (\frac{3}{16})^{3} = 12! 2 \frac{\frac{1}{4} (−\frac{3}{4}) (−\frac{7}{4})}{3!} (\frac{3}{16})^{3}

3. Többváltozós függvények

3.1.

3.1.1.

Nem létezik, mert pl.

lim_{x→0} lim_{y→0} \frac{2x + 3y}{4x + 15y} = lim_{x→0} \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2} ≠ \frac{1}{5} = lim_{y→0} lim_{x→0} \frac{2x + 3y}{4x + 15y} = lim_{y→0} \frac{3y}{15y}

Vagy: x_{n} = ϱ_{n} cos φ_{n}; y_{n} = ϱ_{n} sin φ_{n}

lim_{\begin{matrix}ϱ_{n}→0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix}} \frac{2ϱ_{n} cos φ_{n} + 3ϱ_{n} sin φ_{n}}{4ϱ_{n} cos φ_{n} + 15ϱ_{n} sin φ_{n}} = \frac{2 cos φ_{n} + 3 sin φ_{n}}{4 cos φ_{n} + 15 sin φ_{n}}

függ φ_{n}-től, pl. φ_{n} = \frac{π}{2} esetén: \frac{1}{5}; φ_{n} = π esetén: \frac{1}{2}

3.1.2.

Nem létezik, mert

lim_{\begin{matrix}ϱ_{n}→0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix}} \frac{ϱ_{n}^{2} cos^{2} φ_{n} + 2ϱ_{n}^{4} sin^{4} φ_{n}}{2ϱ_{n}^{2} cos^{2} φ_{n} + 3ϱ_{n}^{2} sin^{2} φ_{n}} = lim_{\begin{matrix}ϱ_{n}→0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix}} \frac{cos^{2} φ_{n} + 2ϱ_{n}^{2} sin^{4} φ_{n}}{2 + sin^{2} φ_{n}} = \frac{cos^{2} φ_{n}}{2 + sin^{2} φ_{n}}

függ φ_{n}-től, pl. φ_{n} = \frac{π}{2} esetén: 0; φ_{n} = 0 esetén: \frac{1}{2}

3.1.3.

Nem létezik, mert pl. y = mx mentén

lim_{x→0} f(x, mx) = lim_{x→0} \frac{x · mx + x^{2}}{2x^{2} + 3m^{2}x^{2}} = \frac{m + 1}{2 + 3m^{2}} ,

azaz függ m-től.

3.1.4.

a) \frac{3m}{1 + 2m^{2}}

b) nem létezik, hiszen függ m-től.

3.1.5.

Nem létezik, mert

lim_{x→0} lim_{y→0} f(x, y) = lim_{x→0} \frac{2x^{2}}{x^{2}} = 2 ≠ −\frac{3}{5} = lim_{y→0} \frac{−3y^{2}}{5y^{2}} = lim_{y→0} lim_{x→0} f(x, y)

3.2.

3.2.1.

a)

lim_{x→0} f(x, mx) = lim_{x→0} (2x + \frac{x sin mx}{x^{2} + m^{2}x^{2}} ) = lim_{x→0} (2x + \frac{sin mx}{mx} · \frac{mx}{x + m^{2}x}) = \frac{m}{1 + m^{2}}

függ m-től ⟹ ∄ lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) ⟹ f nem folytonos az origóban. b)

f′_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h, 0) − f(0, 0)}{h} = lim_{h→0} \frac{2h + 0 − 0}{h} = 2

Ha (x, y) ≠ (0, 0):

f′_{x} = 2 + \frac{sin y · (x^{2} + y^{2}) − x sin y · 2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

3.2.2.

f′_{x} = \frac{∂}{∂x} (\frac{y}{e^{2y}} (x^{2} + 1)) = \frac{y}{e^{2y}} · 2x

f′′_{xx} = \frac{y}{e^{2y}} · 2

f′′_{xy} = 2x · \frac{e^{2y} − y · 2e^{2y}}{(e^{2y})^{2}}

f′_{y} = (x^{2} + 1) \frac{e^{2y} − y · 2e^{2y}}{(e^{2y})^{2}} = (x^{2} + 1) \frac{1 − 2y}{e^{2y}}

f′′_{yy} = (x^{2} + 1) \frac{−2e^{2y} − (1 − 2y) 2e^{2y}}{(e^{2y})^{2}}

3.2.5.

a) lim_{(x,y)→(0,0)} f(x, y) ∄, mert

lim_{x→0} lim_{y→0} \frac{x + 2y}{x − 2y} = lim_{x→0} \frac{x}{x} = 1 ≠ f(0, 0)

b) Mivel f nem folytonos (0, 0)-ban (hiszen ∄ itt a határérték), így nem differenciálható a (0, 0)-ban.

3.2.6. a) Nem folytonos a függvény az origóban. Pl. x = 0 egyenes mentén:

lim_{y→0} f(0, y) = lim_{y→0} \frac{4y^{2}}{y^{2}} = 4 ≠ \frac{7}{3} = f(0, 0)

b) f′_{x} = \frac{6x(2x^{2} + y^{2}) − (3x^{2} + 4y^{2}) · 4x}{(2x^{2} + y^{2})^{2}}; f′_{x}(1, 0) = 0

f′_{y} = \frac{8y(2x^{2} + y^{2}) − (3x^{2} + 4y^{2}) · 2y}{(2x^{2} + y^{2})^{2}} ; f′_{y}(1, 0) = 0

grad f|_{(1,0)} = 0 \underline{i} + 0 \underline{j} = \underline{0} (∃, mert f′_{x}, f′_{y} K_{(1,0)}-ban ∃ és folyt.)

3.3.

3.3.1.

a)

lim_{y→0} lim_{x→0} f(x, y) = lim_{y→0} \frac{0}{2y^{2}} = 0 ≠ 1 = f(0, 0)

⟹ f nem folytonos (0, 0)-ban ⟹ nem deriválható (0, 0)-ban.

b) Ha (x, y) ≠ (0, 0):

f′_{x} = \frac{(y + 1) · 2x(x^{2} + 2y^{2}) − (y + 1)x^{2} · 2x}{(x^{2} + 2y^{2})^{2}}

f′_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h, 0) − f(0, 0)}{h} = lim_{h→0} \frac{\frac{h^{2}}{h^{2}} − 1}{h} = 0

3.3.2.

f′_{x} = (y^{2} + 1) \frac{1 · e^{2x} − (x + 1) 2e^{2x}}{(e^{2x})^{2}} f′_{x}(0, 1) = −1

f′_{y} = \frac{x + 1}{e^{2x}} · 2y f′_{y}(0, 1) = 2

f(0, 1) = 2

Az érintősík: −1(x − 0) + 2(y − 1) − (z − 2) = 0

3.3.3.

a) grad f|_{(1,0)} = 0 \underline{i} + 3e \underline{j}

b) 0 · (x − 1) + 3e · (y − 0) − (z − e) = 0 3.3.5.

5(x − 1) + \frac{15}{4}(y − 2) − (z − \frac{7}{2}) = 0

3.3.10.

a) f′_{x} = 2e^{3z} f′_{y} = \frac{1}{2y} · 2 f′_{z} = (2x + 1) · 3 e^{3z}

grad f|_{P_{0}} = 2 \underline{i} + \underline{j} + 9 \underline{k} = [2, 1, 9]

b) \underline{e} ∥ (3 \underline{i} − 4 \underline{k}) ⟹ \underline{e} = \frac{1}{\sqrt{9 + 0 + 16}} (3 \underline{i} − 4 \underline{k}) = [\frac{3}{5}, 0, −\frac{4}{5}]

\frac{df}{d \underline{e}}|_{P_{0}} = grad f|_{P_{0}} · \underline{e} = 2 · \frac{3}{5} + 1 · 0 + 9 · \frac{−4}{5} = −\frac{30}{5} = −6

3.3.11.

a) Igen:

lim_{\begin{matrix}ϱ_{n}→0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix}} \frac{2ϱ_{n}^{3} cos^{3} φ_{n} + ϱ_{n}^{3} sin^{3} φ_{n}}{ϱ_{n}^{2}} = lim_{\begin{matrix}ϱ_{n}→0 \\ φ_{n} tetsz. \end{matrix}} \begin{matrix}ϱ_{n} \\ ↓ \\ 0 \end{matrix}(\underbrace{2 cos^{3} φ_{n} + sin^{3} φ_{n}}_{korlátos}) = 0

b) Létezik:

\frac{df}{d \underline{e}}|\underline{0} = lim_{t→+0} \frac{f(\underline{0} + \underline{e} t) − f(\underline{0})}{t} \underline{e} = \frac{3}{5} \underline{i} − \frac{4}{5} \underline{j}

\frac{df}{d \underline{e}}|\underline{0} = lim_{t→+0} \frac{f (\frac{3}{5} t, −\frac{4}{5} t) − f(0, 0)}{t} = lim_{t→+0} \frac{\frac{2(\frac{3}{5})^{3}t^{3}−(\frac{4}{5})^{3}t^{3}}{(\frac{3}{5})^{2}t^{2}+(\frac{4}{5})^{2}t^{2}} − 0}{t} =

= lim_{t→+0} (2 (\frac{3}{5})^{3} − (\frac{4}{5})^{3}) = 2 (\frac{3}{5})^{3} − (\frac{4}{5})^{3}

3.3.16.

max \frac{df}{d\underline{e}} |_{(2,1)} = \sqrt{4^{2} + (8 ln 2)^{2}} \underline{e} = \frac{1}{\sqrt{4^{2} + (8 ln 2)^{2}}} (4\underline{i} + 8 ln 2\underline{j})

3.3.17.

a) f′_{x}(0, 0) = lim_{h→0} \frac{f(h,0)−f(0,0)}{h} = lim_{h→0} \frac{\sqrt{h^{2}}−0}{h} = lim_{h→0±} \frac{|h|}{h} = ±1 ∄

f′_{y}(0, 0) = lim_{k→0} \frac{f(0,k)−f(0,0)}{k} = lim_{k→0} \frac{\sqrt{3k^{4}}−0}{k} = lim_{k→0} \frac{\sqrt{3}k^{2}}{k} = 0

b) K_{(1,2)}-ben f parciálisai léteznek és folytonosak

⟹ ∃ grad f|_{(1,2)} = f′_{x}(1, 2) \underline{i} + f′_{y}(1, 2) \underline{j} = \frac{1}{7}\underline{i} + \frac{48}{7}\underline{j},

mert f′_{x} = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 3y^{4}}} · 2x; f′_{y} = \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + 3y^{4}}} · 12y^{3}

c) max \frac{df}{d\underline{e}} |_{(1,2)} = |grad f|_{(1,2)}| = \sqrt{(\frac{1}{7})^{2} + (\frac{48}{7})^{2}}, ha \underline{e} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{7})^{2} + (\frac{48}{7})^{2}}} (\frac{1}{7}\underline{i} + \frac{48}{7}\underline{j})

3.4.

3.4.1.

a) f′_{x} = −π e^{y^{2}} sin πx f′_{x}(−1, 1) = 0 f′_{y} = 2y e^{y^{2}} cos πx f′_{y}(−1, 1) = −2e df ((−1, 1), (h, k)) = f′_{x}(−1, 1) · h + f′_{y}(−1, 1) · k = −2e k f′′_{xx} = −π^{2} e^{y^{2}} cos πx f′′_{xx}(−1, 1) = π^{2}e f′′_{xy} = −π2y e^{y^{2}} sin πx f′′_{xy}(−1, 1) = 0 f′′_{yy} = (2e^{y^{2}} + 2y 2y e^{y^{2}}) cos πx f′′_{yy}(−1, 1) = −6e d^{2}f ((−1, 1), (h, k)) = f′′_{xx}(−1, 1) h^{2} + 2f′′_{xy}(−1, 1) hk + f′′_{yy}(−1, 1) k^{2} = π^{2}e h^{2} − 6e k^{2}

b) Érintősík:

f′_{x}(−1, 1))(x − (−1)) + f′_{y}(−1, 1)(y − 1) − (z − f(−1, 1)) = 0

−2e(y − 1) − (z − (−e)) = 0

3.4.2.

f′_{x} = h′(xy + x^{2}) · (y + 2x)

f′′_{xy} = \frac{∂}{∂y} (h′(xy + x^{2})) · (y + 2x) + h′(xy + x^{2}) \frac{∂}{∂y} (y + 2x) =

= h′′(xy + x^{2}) · x(y + 2x) + h′(xy + x^{2}) · 1

3.5.

3.5.2.

Nincs lokális szélsőértéke.

3.5.6.

f′_{x} = 3x^{2} − 12 = 0 x = ±2

f′_{y} = 4y − 1 = 0 y = \frac{1}{4}

P_{1} (2, \frac{1}{4}) ill. P_{2} (−2, \frac{1}{4}) jöhet szóba.

D = |\begin{matrix}f′′_{xx} & f′′_{xy} \\ f′′_{yx} & f′′_{yy} \end{matrix}| = |\begin{matrix}6x & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix}| = 24x

D_{P_{1}} > 0, f′′_{xx}|_{P_{1}} > 0 ⟹ lok. min. van P_{1}-ben.

D_{P_{2}} < 0 ⟹ nincs lok. szé. P_{2}-ben.

3.5.7.

Lok. min.: f(0, 1) = −4

3.5.8.

a) ...

b) f′_{x} = 2(x − y + 1) − 2(x^{2} − 2) · 2x = 2 + 10x − 4x^{3} − 2y = 0

f′_{y} = 2(x − y + 1)(−1) = 0 ⟹ y = x + 1

Ezt behelyettesítve az 1. egyenletbe: 4x(x^{2} − 2) = 0

A szükséges feltétel a következő pontokban teljesül:

P_{1}(0, 1); P_{2}(\sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}); P_{3}(−\sqrt{2}, 1 − \sqrt{2})

D(x, y) = |\begin{matrix}f′′_{xx} & f′′_{xy} \\ f′′_{yx} & f′′_{yy} \end{matrix}| = |\begin{matrix}10 − 12x^{2} & −2 \\ −2 & 2 \end{matrix}| = 16 − 24x^{2}

D(0, 1) = 16 > 0, f′′_{xx}(0, 1) = 18 > 0 ⟹ lok. min. f(0, 1) = −4

D|_{P_{2}} < 0; D|_{P_{3}} < 0 ⟹ P_{2}-ben és P_{3}-ban nincs lokális szélsőérték.

3.5.10.

f folytonos és T kompakt ⟹ f-nek van minimuma és maximuma T -n (Weierstrass II.). f_{min} = f(1, 0) = 5; f_{max} = f(0, 0) = 16

3.6.

3.6.3.

a) x = r cos φ, y = r sin φ

J = \frac{∂(x, y)}{∂(r, φ)} = |\begin{matrix}x′_{r} & x′_{φ} \\ y′_{r} & y′_{φ} \end{matrix}| = |\begin{matrix}cos φ & −r sin φ \\ sin φ & r cos φ \end{matrix}| = r

∫∫_{A} f(x, y) dx dy = ∫∫_{A^{∗}} f(r cos φ, r sin φ) · r dr dφ

(r, φ) ∈ A^{∗} esetén (x, y) ∈ A

b) I = lim_{R→∞} I_{R},  e^{2} ≤ x^{2} + y^{2} ≤ R^{2},  e ≤ r ≤ R,  0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2}

I_{R} = ∫_{e}^{R} ∫_{0}^{π/2}\frac{1}{r^{2}(ln r)^{2}} · r dφ dr = \frac{π}{2} ∫_{e}^{R} \frac{1}{r}(ln r)^{−2} dr = \frac{π}{2} \frac{−1}{ln r}|_{e}^{R} = \frac{π}{2} (\frac{−1}{ln R} + 1)

I = lim_{R→∞} \frac{π}{2} (1 − \frac{1}{ln R}) = \frac{π}{2}

3.6.5.

Improprius integrál, polártranszformációval oldjuk meg.

x = r cos φ, y = r sin φ, |J| = r, ϱ ≤ r ≤ \frac{1}{e}, 0 ≤ φ ≤ \frac{π}{2}

I = lim_{ϱ→+0} I_{ϱ}

I_{ϱ} = ∫_{ϱ}^{1/e}∫_{0}^{π/2}\frac{1}{r^{2} ln^{3} r} · r dφ dr = \frac{π}{2} ∫_{ϱ}^{1/e}\frac{1}{r}(ln r)^{−3} dr = \frac{π}{2} \frac{(ln r)^{−2}}{−2} |ϱ^{\frac{1}{e}} =

= −\frac{π}{4} (\frac{1}{(ln \frac{1}{e})^{2}} − \frac{1}{(ln ϱ)^{2}} ) = −\frac{π}{4} (1 − \frac{1}{(ln ϱ)^{2}} )

I = lim_{ϱ→+0} −\frac{π}{4} (1 − \frac{1}{(ln ϱ)^{2}} ) = −\frac{π}{4}

3.6.6.

\frac{128}{9}

3.7.

3.7.2.

a) ...

b) ...

c) x = r cos φ,  y = r sin φ,  z = z,  |J| = r
0 ≤ z ≤ 16 − r^{2},  0 ≤ φ ≤ π,  0 ≤ r ≤ 2

I = ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{π} ∫_{0}^{16−r^{2}}z^{2} · r dz dφ dr = ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{π} r \frac{z^{3}}{3} |_{z=0}^{16−r^{2}} dφ dr = \frac{1}{3} ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{π} r (16 − r^{2})^{3} dφ dr =

= \frac{1}{3} π \frac{−1}{2} ∫_{0}^{2} −2r(16 − r^{2})^{3} dr = − \frac{π}{6} \frac{(16 − r^{2})^{4}}{4} |_{0}^{2} = −\frac{π}{24} (12^{4} − 16^{4})

3.7.4.

Hengerkoordinátás transzformációval:

x = r cos φ,  y = r sin φ,  z = z,  |J| = r
0 ≤ φ ≤ 2π,  1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ z ≤ 9 − r^{2}

∫_{0}^{2π}∫_{1}^{2} ∫_{0}^{9−r^{2}}r^{2} cos^{2} φ · r dz dr dφ = ∫_{0}^{2π}∫_{1}^{2} cos^{2} φ · \underbrace{r^{3}z|_{0}^{9−r^{2}}}_{r^{3}(9−r^{2})} dr dφ =

= ∫_{0}^{2π}cos^{2} φ (9 · \frac{r^{4}}{4} − \frac{r^{6}}{6} )|_{r=1}^{2} dφ = (9 · \frac{2^{4}}{4} − \frac{2^{6}}{6} − \frac{9}{4} + \frac{1}{6}) ∫_{0}^{2π} \frac{1 + cos 2φ}{2} dφ =

= (36 − \frac{32}{3} − \frac{9}{4} + \frac{1}{6}) · \frac{1}{2} · 2π = \frac{279}{12}π

(∫_{0}^{2π}cos 2φ dφ = 0)

3.7.5.

\sqrt{x^{2} + y^{2}} ≤ z ≤ 12 − (x^{2} + y^{2}) A két felület metszésvonala a \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 12 − (x^{2} + y^{2}) egyenletből: \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 3, tehát az x^{2} + y^{2} = 3^{2} kör (a z = 3 síkban).

Hengerkoordinátás transzformációval:

x = r cos φ,  y = r sin φ,  z = z,  |J| = r
r ≤ z ≤ 12 − r^{2},  0 ≤ r ≤ 3,  0 ≤ φ ≤ 2π

V = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{3} ∫_{r}^{12−r^{2}}r dz dr dφ = ∫_{0}^{2π}∫_{0}^{3} \underbrace{r z|_{z=r}^{12−r^{2}}}_{12r−r^{3}−r^{2}} dr dφ =

= ∫_{0}^{2π} (6r^{2} − \frac{r^{4}}{4} − \frac{r^{3}}{3} )|_{0}^{3} dφ = 2π (6 · 3^{2} − \frac{3^{4}}{4} − \frac{3^{3}}{3} ) = 2π (45 − \frac{3^{4}}{4} )