Lineáris algebra elõadás
/BMETE91AK00/



Az előadások időpontja és helye ( a 2014/2015-ös tanév őszi félévében):

Hétfő, 12.15 - 14.00; H. épület 406. terem
Csütörtök, 8.15 - 10.00; H. épület 607. terem


Tanmenet

1. Komplex számok I.(A komplex szám fogalma. Összeadás és szorzás algebrai és trigonometriai alakban adott komplex számok között.) 
2. Komplex számok II. (A komplex számok hatványozása.A binomiális tétel (pdf). A Moivre-tétel (pdf). Komplex gyökvonás, primitív n-edik egységgyökök)
3. Polinomok I. (Az algebra alaptétele (pdf). Cardano-képlet (pdf). Gyökök és együtthatók közötti összefüggés. Szimmetrikus polinomok alaptétele.)
4. Polinomok II.( Műveletek polinomok között. Polinomok maradékos osztása (pdf). A Rolle-tétel (pdf). A Horner-módszer.  Lagrange-féle interpoláció.)
5. Polinomok III. ( Irreducibilis polinomok, A Schönemann-Eisenstein-féle irreducibilitási kritérium (pdf).)
6. Vektortér (Vektortér, altér, lineáris függetlenség, bázis, dimenzió. Direkt szorzat, direkt öszeg. A térbeli vektorok és a valós, illetve komplex szám n-esek tere. Skaláris szorzás.)
7. Mátrixalgebra.(A mátrix fogalma, mátrixok összege, szorzata, skalárszorosa. Az mxn-es mátrixok vektortere. Az nxn-es mátrixok gyűrűje. Mátrix inverze)
8. Determináns I.(A permutáció fogalma, permutáció paritása. A determináns fogalma és alaptulajdonságai.)
9. Determináns II. (A Laplace-féle kifejtési tétel és következményei (kifejtési és ferde kifejtési tétel, a determinánsok szorzástétele. A mátrix inverze) 
10. A mátrix rangja ( a rang definíciója, ekvivalens definíciók, elemi átalakítások, a rangszámtétel.)
11. Lineáris egyenletrendszerek (Gauss-módszer, Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának mátrixrangos feltétele, A Cramer-szabály (pdf).)
12. Mátrix sajátértékének, sajátvektorának definíciója. Karakterisztikus egyenlet. Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix fogalma, sajétértékeik. 
13. Lineáris leképezések I. (Lineáris leképezés és transzformáció definíciója. Lineáris funkcionál definíciója. A duális tér. Vektorterek izomorfizmusa.Véges dimenziós vektorterek izomorfizmusának feltétele, vektorok koordinátázása)
14. Lineáris transzformáció sajátértékei, sajátvektorai, kapcsolat a mátrixok sajátértékeivel, sajátvektoraival.Szimmetrikus lineáris transzformáció sajátvektorai.
15. Egy alkalmazás (Másodrendű görbék osztályozása, centrális helyzetbe hozás, főtengelytranszformáció.)
16. Lineáris leképezések II. (Lineáris leképezés képtere és magtere. A Rang-nullitás-tétel (pdf) (vagy más néven: dimenziótétel). Lineáris leképezés és transzformáció mátrixa.)
17. Lineáris leképezések III. (Bázistranszformáció. Vektor és mátrix változása bázistranszformáció során. Mátrixok hasonlósága.)
18. Polinomiális mátrixok I. (Polinomiális mátrixok ekvivalenciája, polinomiális mátrix kanonikus alakja. Mátrix minimálpolinomja, a Cayley-Hamilton-tétel (pdf).)
19. Polinomiális mátrixok II. (Unimoduláris mátrixok. Mátrixok hasonlóságának szükséges és elégséges feltétele (pdf).)
20. Jordan-mátrix kanonikus alakja.
21. Jordan-mátrixszal való hasonlóság szükséges és elégséges feltétele, mátrix diagonalizálhatósága (tetszőleges test felett).)
22. Vektorterek direkt szorzata. A faktortér. A tenzori szorzat.
23. Bilineáris funkcionálok (A valós és komplex bilineáris funkcionál fogalma, mátrixa. A valós, illetve komplex kvadratikus alak fogalma, kapcsolatuk a bilineáris funkcionálokkal.) 
24. Kvadratikus alakok ( A valós értékű kvadratikus alakok osztályozása, definitségi tétel.)
25. A valós és komplex euklideszi tér (skaláris szorzat, euklideszi tér,  ortogonalitás, a Bessel -egyenlőtlenség (pdf), a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség (pdf), Gram-Schmidt-féle ortogonalizáció (pdf).)
26. Valós euklideszi terek lineáris transzformációi (Szimmetrikus, ortogonális transzformációk.)
27. Komplex euklideszi terek lineáris transzformációi (Önadjungált,  unitér, normális transzformációk.)
28
 Kvadratikus alakok kanonikus alakja (A kanonikus alak definíciója, Kvadratikus alakra vonatkozó főtengelytétel, Sylvester-féle tehetetlenségi tétel (pdf).)

    LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

A vizsga szóban történik.

A vizsgára bocsátás feltétele az, hogy a Lineáris algebra gyakorlaton szerzett félévközi jegy legalább elégséges legyen.


A (szóbeli) vizsga tételei