\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}

\pagestyle{empty}
\centerline{\bf Pólya-Szegő szakkör 2004. őszi félév}
\centerline{\bf Előfeladatsor}
\centerline{\bf 2004. szeptember}

\medskip

\begin{enumerate}[1.]
\item Egy 8$\times$8-as sakktábla egyik mezőjét kivágtuk. Lefedhető-e a megmaradt 63 mező 21 darab 3$\times$1-es lappal?
%
\item Egy minden valós számra értelmezett $f$ függvény minden $(x, y)$ szám\-pár\-ra kielégíti a következő egyenlőségeket:
$$f(x)\leq x, \qquad f(x+y)\leq f(x)+f(y)$$
Bizonyítsuk be, hogy minden valós $x$-re $f(x)=x$.
%
\item Legyen $c_n$ nemnegatív, korlátos számsorozat, $0<\lambda<1$ és
$$a_n=\sum^\infty _{k=0}\lambda^k c_{n+k}$$
Ekkor
$$\sum^\infty _{n=1}c_n^2<\infty\iff\sum^\infty _{n=1}a_n^2<\infty.$$
%
\item Mutassuk meg, hogy a
$$ \begin{array}{llllll}
  & .1  \\
+ & .01 \\
+ & .002 \\
+ & .0003 \\
+ & .00005 \\
+ & .000008 \\
+ & .0000013 \\
&\vdots \\
\end{array}$$
végtelen összeg racionális számhoz konvergál.
%
\item Bizonyítsuk be, hogy ha $n$ páratlan természetes szám, akkor $n|2^{n!}-1$.
%
\item Az $f(x,y)>0$ függvény folytonos az
$$a\leq x\leq a', \quad b\leq y\leq b'$$
téglalapon. Mutassuk meg, hogy
$$\lim_{n\to \infty}\bigg[\int_a^{a'}\Big(\int_b^{b'}[f(x,y)]^n \ud y\Big)^{-1}\ud x\bigg]^{-1/n}=\min_x \max_y f(x,y).$$
%
\end{enumerate}

\end{document}
