\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{enumerate}

\begin{document}

\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}
\newcommand{\tr}{\mathrm{tr}\,}
\newcommand{\modulo}{\,\mathrm{mod}}

\pagestyle{plain}
\centerline{\bf Pólya-Szegő szakkör 2004. őszi félév}
\centerline{\bf 1. feladatsor}
\centerline{\bf 2004. szeptember 13., javított változat}

\medskip

\begin{enumerate}[1.]
\item Az $f(x)$ egész együtthatós polinom legalább négy egész helyen felveszi a $+1$-et. Igazoljuk, hogy ekkor semmilyen egész helyen nem veszi fel a $-1$-et.
%
\item Adott a síkban véges sok (de legalább 3) pont úgy, hogy semelyik három nincs egy egyenesen és semelyik négy nincs egy körön. Igaz-e, hogy kiválasztható közülük három pont úgy, hogy az összes többi a körülírt körük
\begin{enumerate}
\item belsejében,
\item külsejében van?
\end{enumerate}
%
\item Egy téglatest alakú ládát olyan egybevágó téglákkal akarunk megtölteni, amelyek éleinek aránya 1:2:4. Bizonyítsuk be, hogy ha ez megtehető, akkor megtehető úgy is, hogy az ugyanolyan hosszú téglaélek mind párhuzamosak.
%
\item Legyen $a_n$ a $w^n$ tag együtthatója $(1+w+w^2)^n$-ben. Igazoljuk, hogy ha $p>3$ prím, akkor
%$$a_p\equiv 1 (\modulo\, p).$$
$$ a_p \equiv 1 \pmod p^2 $$
%
\item Legyenek $C, X, Y$ $n\times n$-es komplex mátrixok. Mutassuk meg, hogy annak, hogy az
$$XY-YX=C$$
egyenlet megoldható, szükséges és elégséges feltétele, hogy $\tr C=0$!
%
\item Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív, valós $a, b, c$-re
$$\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+
  \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1.$$
%

\end{enumerate}

\end{document}
