% Zsban Ambrus
% polya-szego, Sun Oct  3
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

2. feladatsor

2004. október 4.

\par}\vskip1.5\bigskipamount


% faktoriális --------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy
$$ (n!)^{n+1} \mid (n^2)! $$


% sor --------------------------------------------------
% ambrus

\feladat 
Legyen $ k $ egyenletes eloszlású az $ 1, 2, \dots, n $ egészeken.
Hova tart annak a valószínűsége, hogy $ n \bmod k \ge k/2 $,
ha $ n $ a végtelenbe tart.
(Itt $ 0 \le n \bmod k < k $ a maradék, ha $ n $-t osztjuk $ k $-val.)


% számtani --------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyenek $a, d$ egészek, $d\not =0$. Az
$$a, a+d, a+2d, \dots, a+nd, \dots$$
sorozatból kiválasztható végtelen sok tag úgy, hogy azok prímosztói
megegyeznek.


% terület -----------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen az 
$$ f(z) = \sum_{-\infty<n<\infty} a_k z^k $$ 
függvény reguláris az $ r < |z| < R $ körgyűrűn.
Bizonyítsuk be, hogy a körgyűrű képének területe 
(a többször fedett részeket többszörösen számítva)
$$ \pi \sum_{-\infty<n<\infty} n |a_n|^2 (R^{2n} - r^{2n}) $$

% gráf --------------------------------------------
% illés

\feladat
Egy gráfban két élt \emph{teljesen független élnek} nevezünk, ha
végpontjaik négyelemű halmazt alkotnak, és az ez által feszített
részgráfban csak a két kiinduló él van. Legyen $G$ egy legalább két élű
gráf, amelyben nincs két teljesen független él. Bizonyítsuk be, hogy
$\omega(G)\leq \chi(G)\leq \omega(G)^2$.


% Descartes ----------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Descartes-féle előjelszbály.
(Ennek a feladatnak érdemes több különböző megoldását ismerni.)

Azt mondjuk, hogy az $ a_0, a_1, \dots, a_n $ valós számsorozatnak jelváltása van a 
$ k $ indexű tagnál, ha $ 0 \ne a_k $ ellenkező előjelű, mint 
az $ a_{k+1}, a_{k+2}, \dots $ tagok közül az első nullától különböző.
Tekintsük az $ f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n $ 
(nem azonosan nulla) valós együtthatós polinomot.

Lássuk be, hogy $ f $ együtthatóinak sorozatában legalább annyi jelváltás van,
ahány pozitív gyöke van $ f $-nek. 

Ha $ f $-nek minden gyöke valós, akkor pontosan ugyanannyi jelváltás van, mint
pozitív gyök.



% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
