% Zsban Ambrus
% polya-szego, Sun Oct  8
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}

\def\determinant#1{\left|\vcenter{\kern1.5pt\hbox{$\matrix{#1}$}\kern1.5pt}\right|}

\def\Reals{\mathbb{R}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

3. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. október 11.

\par}\vskip1.5\bigskipamount


% végpontokon felvett értékek átlaga ---------------------------------
% ambrus

\feladat
Az $ f $ függvény az $ [a, b] $ intervallumon korlátos és integrálható.
Bármely intervallumon $ f $ integrálközepe egyenlő 
a végpontokon felvett értékek mértani közepével,
vagyis bármely $ a \le u < v \le b $ számokra
$$
{ 1 \over v - u } \int_u^v f(x)\, dx = \sqrt{ f(u) f(v) }
$$

Adjuk meg az összes ilyen függvényt.


% determináns ---------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Számítsuk ki a következő determináns értékét.

$$
\determinant{
1   & 1   & 1   & \ldots & 1   & 1   \cr
b_1 & a_1 & a_1 & \ldots & a_1 & a_1 \cr
b_1 & b_2 & a_2 & \ldots & a_2 & a_2 \cr
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & a_3 & a_3 \cr
\vdots&&& \ddots& \cr
b_1 & b_2 & b_3 & \ldots & b_n & a_n \cr
}
$$


% 2n pont --------------------------------------------------
% illés

\feladat
Adott a síkon $ n $ piros és $ n $ kék pont úgy,
hogy semelyik három nem esik egy egyenesbe.
Bizonyítsuk be, hogy össze lehet kötni a pontokat $ n $ szakasszal úgy,
hogy minden szakasz végpontjai különböző színűek legyenek, 
és semelyik két szakasznak ne legyen közös pontja.


% polinom --------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $ f(x) $ nem konstans egész együtthatós polinom.
Lássuk be, hogy végtelen sok prím van, amely osztója $ f(x) $-nek valamely egész $ x $-re.


% függvényegyenlet ----------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy pontosan egy olyan 
$ f : \Reals \to \Reals $ függvény létezik, amelyre
$$
[f(x)]^3 + 3 f(x) = x
$$
teljesül minden $ x\in\Reals $ esetén.  

Bizonyítsuk be továbbá, hogy $ f $ differenciálható, és adjuk meg $ f'(0)$-t.


% limesz -------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Számítsuk ki az 
$$
a_n = \left[ \left( 1 + { 1\over n } \right)^n \cdot { 1 \over e } \right]^n
$$
sorozat határértékét.



% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
