% Zsban Ambrus
% polya-szego 5
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}

%\def\determinant#1{\left|\vcenter{\kern1.5pt\hbox{$\matrix{#1}$}\kern1.5pt}\right|}

%\def\Reals{\mathbb{R}}
%\def\Rationals{\mathbb{Q}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

5. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. október 25.

\par}\vskip1.5\bigskipamount


% divergens ---------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy az $ a_n $ sorozat minden tagja pozitív, 
$ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 $,
de az $ a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots $ sor divergens.
Adjuk meg az 
$$
\{a_1\}, \{a_1 + a_2\}, \dots, \{a_1 + \dots + a_n\}, \dots
$$
sorozat torlódási pontjainak halmazát,
ahol $ \{x\} = x - \lfloor x \rfloor $ az $ x $ törtrésze.


% sinusos sor ------------------------------------------------
% illes

\feladat
Konvergens-e az
$$
%x + \sin x + \sin(\sin x) + \sin(\sin(\sin x)) + \dots
x + \sin x + \sin \sin x + \sin \sin \sin x + \dots
$$
sor, ha $ 0 < x < \pi $?


% pozitív polinom -----------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Ha az $ f(x) $ polinom értéke minden valós $ x $-re nemnegatív, akkor
felírható $ f(x) = [a(x)]^2 + [b(x)]^2 $ alakban, 
ahol $ a $ és $ b $ valós együtthatós polinomok.


% integrál ---------------------------------------------------------
% illes

\feladat
Számítsuk ki a következő integrál értékét:
$$
\int_{0}^{\pi} { x \sin x \over 1 + \cos^2 x }\, dx
$$


% Stirling ---------------------------------------------------
% ambrus

\def\Stir#1#2{\left\{{#1\atop#2}\right\}}
\def\stir#1#2{\left[{#1\atop#2}\right]}

\feladat
A másodfajú, illetve elsőfajú Stirling-számokat kétparaméteres sorozatnak tekintve lássuk be,
hogy ezeknek az exponenciális generátorfüggvénye
$$
\displaylines{
%
\sum_{0\le n} \sum_{0\le k\le n} \Stir nk { z^n \over n! } w^k =
 e^{w(e^z-1)} \cr
%
\sum_{0\le n} \sum_{0\le k\le n} \stir nk { z^n \over n! } w^k =
 { 1 \over (1-z)^w }
%
}
$$


% osszetett szam ----------------------------------------------------
% illes

\feladat
Tekintsünk egy természetes számokból álló monoton növő számtani sorozatot.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $ k $ természetes számhoz 
található a sorozatnak $ k $ egymást követő tagja, 
melyek mindegyike összetett szám.


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
