% Zsban Ambrus
% polya-szego 6
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}

\def\Reals{\mathbb{R}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

6. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. november 15., javított

\par}\vskip1.5\bigskipamount


% periodikus ----------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy ha tetszőleges $x$-re és adott $a$-ra
$$f(x+a)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}$$
teljesül, akkor $f(x)$ periodikus függvény!

% fűszálak ----------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Anna $2n$ fűszálat tart összeszorítva egyik markában. A fűszálak végei mindkét oldalon kilógnak, azt azonban nem lehet megállapítani, hogy melyik két vég tartozik ugyanahhoz a fűszálhoz. Mekkora a valószínűsége annak, hogy vaktában párosával összekötve a fűszálakat mindkét oldalon, egyetlen összefüggő hurkot kapunk? Mennyi ez a valószínűség aszimptotikusan?

% átlag ---------------------------------
% ambrus

% ez a feladat azért tetszik, mert meglepő az állítása.

\feladat
Tegyük fel, hogy az $ l_1, l_2, \dots, l_n, \dots $ valós számsorozat $ +\infty $-be tart.
Legyen $ A $ adott, $ A > l_1 $.  

Lássuk be, hogy van olyan $ n $ index amelyre
minden $ 1 \le k \le n $ esetén
$$
{ l_{n-k+1} + \dots + l_{n-1} + l_n \over k } \le A
$$
egyszersmind minden $ 1 \le l $ esetén
$$
A \le { l_{n+1} + l_{n+2} + \dots + l_{n+l} \over l }
$$

% rekurzió ----------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Az $\{a_n\}$ és $\{b_n\}$ számsorozatokat a következőképpen definiáljuk:

\begin{tabular}{lll}
$a_1=1,$ & $b_1=2,$ & \\
$a_{n+1}=a_n-2b_n,$ & $b_{n+1}=b_n+2a_n$ & $(n=1,2,3,\dots)$
\end{tabular}

\noindent Adjuk meg $a_n$-et és $b_n$-et is expliciten (kizárólag $n$ függvényeként).

% momentum ----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $ f $ folytonos valós függvény az $ (a, b) $ intervallumon,
$ f \not \equiv 0$. 
Feltéve, hogy
$$
0 = \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^b x f(x)\, dx = \dots = \int_a^b x^{n-1} f(x)\, dx
$$
lássuk be, hogy $ f $ legalább $ n $-szer vált előjelet.

% mátrixok ----------------------------------------------------------
% illés

\feladat
A $B$ és $C$ téglalap alakú mátrixok sorainak száma egyenlő. Jelölje $A$ azt a mátrixot, amelyet úgy kapunk, hogy $C$ oszlopait leírjuk $B$ oszlopai mellé. Bizonyítsuk be, hogy

%\def\Transpose {^{\rm T}}
\def\CT{^*}
\def\Det {\mathop{\rm Det}}
$$ \Det(A\CT A) \leq \Det(B\CT B) \Det(C\CT C)$$


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
