% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


\def\Reals{\mathbb{R}}

% ezt csak ténylegesen relációra használjuk!
\def\hudiscrel#1{\;\discretionary{\hbox{$#1$}}{}{}{#1}\;}
% ezt pedig binopra, likewise
\def\hudiscbin#1{\>\discretionary{\hbox{$#1$}}{}{}{#1}\>}



% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 2.

9. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2004. december  6., javított

\par}\vskip1\bigskipamount


% gagyi csebisev ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
A Csebisev-polinomokat a következő módon definiáljuk ($ 1 \le n $ egész):
$$
T_n(\cos \vartheta) = \cos(n \vartheta)
$$
Lássuk be, hogy $ T_n(x) $ $ n $-edfokú polinom, 
melynek főegyütthatója $ 2^{n-1} $, kivéve ha $ n = 0 $.

Lássuk be, hogy $ n \ne m $ esetén
$$
\int_{-1}^1 {1 \over \sqrt{1 - x^2}} T_n(x) T_m(x)\, dx = 0
$$


% -----------------------------------------------------
% illes

\feladat
Mutassuk meg, hogy ha a különböző pozitív egész számokból 
álló $a_1, 
a_2, \dots$ végtelen sorozatra a
$$0{,}(a_1)(a_2)\dots$$
végtelen tizedes tört racionális számot állít elő, akkor a 
$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{a_i}$ sor konvergens.


% egész függvényt felszorozni úgy, hogy ne legyen gyöke ----------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy az $ F, G $ egész függvényeknek
nincs közös gyökük.  
Bizonyítsuk be, hogy vannak olyan $ f, g $ egész függvények, hogy
$ f(x) F(x) + g(x) G(x) = 1 $.


% -----------------------------------------------------
% illes

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy $kl+1$ különböző egész szám közül kiválasztható $k+1$ 
úgy, hogy mindegyik osztható az előzővel, vagy $l+1$ úgy, hogy egyik sem 
osztható semelyik másikkal.



% -----------------------------------------------------
% illes

\iffalse
\feladat
Bizonyítsuk be, hogy ha az $A$ $n\times n$-es komplex mátrixra 
$|a_{ik}|\leq 1\,\forall i,k=1,\dots,n$, akkor $|\det A|\leq n^{n/2}$. 
Mutassuk meg azt is, hogy az egyenlőtlenség éles.
\fi

\feladat
Egy $ n \times n $-es $ \mathbf{A} $ komplex mátrix 
elemei $ 1 $-nél kisebb vagy egyenlő abszolút értékűek.
% "abszolút érték" külön?
Bizonyítsuk be, hogy ekkor $ |{\det(\mathbf{A})}| \le n^{n/2} $.
Mutassuk meg, hogy az egyenlőtlenség éles.



% abszösszeg --------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Vannak-e olyan, egy adott tartományon reguláris $ f_1, \dots, f_n, f $ függvények,
amelyekre teljesül az
$$
|f_1(x)| + \cdots + |f_n(x)| = |f(x)|
$$
egyenlőség,
de nem csak egy konstans szorzóban különböznek?



% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
