% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

0. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. február  7.

\par}\vskip1\bigskipamount


% torlódási pont ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy egy valós sor nem konvergens, 
és nem tart plusz vagy mínusz végtelenhez,
de a részletösszegei nullához tartanak.
Lássuk be, hogy a sorösszegek torlódási pontjai (véges vagy végtelen)
intervallumot alkotnak.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Adjunk meg végtelen sok $(m, n)$ számpárt úgy, hogy az $m$,
$n$ különböző egész számoknak ugyanazok legyenek a
prímosztói, és az $m+1$, $n+1$ számoknak is ugyanazok
legyenek a prímosztói.


% háromszög-trafó ---------------------------------------------------------------
% 

\feladat
Legyenek adva a $ 0 \le p_{n k} $ számok 
minden $ 0 \le k \le n $ egészre 
oly módon, hogy $ 1 = p_{n 0} + p_{n 1} + \dots + p_{n n} $.
Ezek az $ {s_n} $ sorozatból a $ {t_n} $ sorozatot állítják elő 
a következőképpen: 
$ t_n = p_{n 0} s_0 + p_{n 1} s_1 + \dots + p_{n n} s_n $ 
bármely $ 0 \le n $ egészre.

Azt mondjuk, hogy ez a transzformáció reguláris,
ha minden $ {s_n} $ sorozatra az $ {s_n} $ és a $ {t_n} $
sorozatok egyszerre konvergensek vagy divergensek,
és ha konvergensek, akkor egyenlő a határértékük.
Bizonyítsuk be, hogy a transzformáció akkor és csak akkor reguláris,
ha minden $ k $-ra $ 0 = \lim_{n\to\infty} p_{n k} $.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
a) 
Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan $a$, $b$
pozitív egész számokból álló pár van, amelyre $a$ osztója
$(b^2+b+1)$-nek, és $b$ osztója $(a^2+a+1)$-nek.

b) 
Adjuk meg az összes ilyen párt.


% ---------------------------------------------------------------
% 

\feladat
Legyen az $f(x)$ valós függvény additív, azaz
$$f(x+y)=f(x)+f(y)\quad \forall\,x,y\in \mathbb{R},$$
továbbá $f$ felülről korlátos valamely $[a,b]$
intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy $f$ lineáris (azaz
$f(x)=cx$ valamely $c$ konstanssal).


% Csebisev minimumtul'a ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $ 1 \le n $ egész.
Ha az $ n $-edfokú $ f $ polinom főegyütthatója $ 1 $, 
akkor
$$ 2^{-n+1} \le \max_{-1<x<1} |f(x)| $$
Egyenlőség csak az $ f(x) = 2^{-n+1} T_n(x) $ polinomra állhat,
ahol $ T_n $ a Csebisev-polinom, $ T_n(\cos \vartheta) = \cos(n\vartheta) $.


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
