% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,10pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\def\fixedsp{\hbox{ }}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1\hbox{. }}}

\def\eqnmatrix#1{{\let\eqnmatrixC\eqnmatrixL\matrix{\eqnmatrixC#1\let\eqnmatrixC\relax\\}}}
\def\eqnmatrixL#1\\{\cr\displaystyle#1\eqnmatrixC}

\def\hudiscrel#1{\;\discretionary{\hbox{$#1$}}{}{}{#1}\;}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 3.

4. feladatsor, javított változat

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
% eredetileg: 2005. március 19.
2005. március 21.

\par}\vskip1\bigskipamount


% komplex sorozat 1. ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\def\Real{\mathop{\rm Re}}

\feladat
Tegyük fel, hogy a $ z_1, \dots, z_k, \dots $ komplex számsorozat tagjai mind a
$ -\alpha \le \arg z_k \le \alpha $ szögtartományba esnek valamilyen
rögzített $ \alpha < \pi/2 $ számra. 
Lássuk be, hogy a $ z_1 + \dots + z_k + \dots $ és a
$ |z_1| + \dots + |z_k| + \dots $ sorok egyszerre konvergensek vagy
divergensek.


% komplex sorozat 2. ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy a $ z_1, \dots, z_k, \dots $ komplex számsorozat tagjai mind a
$ 0 \le \Real(z) $ félsíkba esnek.
Lássuk be, hogy ha a
$ z_1 + \dots + z_k + \dots $ és a $ z_1^2 + \dots + z_k^2 + \dots $
sorok konvergensek, akkor $ |z_1|^2 + \dots + |z_k|^2 + \dots $ is az. 


% mértékek varianciája ---------------------------------------------------------------
% ambrus, de Ráth Balázs javaslata alapján

\feladat
Tegyük fel, hogy $ 0 < a_{kl} $ minden $ 1 \le k, l \le n $ egészre.
Legyen $ b_k \hudiscrel= a_{k1} + \dots + a_{kn} $, és 
$ c_l \hudiscrel= a_{1l} + \dots + a_{nl} $,
továbbá
$$\eqnmatrix{
V = \sum_{k} \max(0, b_k - c_k) \hfill
\\
U = \sum_{k\ne l} a_{kl} \hfill
}$$

(a) Lássuk be, hogy $ V \le U $.

(b) Lássuk be, hogy ha adottak 
a $ 0 \le b_1, \dots b_n, c_1, \dots, c_n $ számok, ahol 
$ b_1 + \dots + b_n = c_1 + \dots + c_n $, akkor 
mindig meg lehet adni az $ a_{kl} $ számokat a fenti feltételek mellett úgy is,
hogy $ U = V $ álljon.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $ A $ egy $ n \times n $-es négyzetes mátrix,
$ E $ az egységmátrix.
Legyen az $ A - z\cdot E $ mátrix determinánsa $ \chi(z) $,
ugyanennek $ n - 1 $ rendű aldeterminánsai pedig $ \chi_{kl}(z) $,
ha a $ k $ indexű sort és az $ l $ indexű oszlopot hagytuk el.
A $ \chi(z) $ polinom gyökeit jelölje $ \alpha_1, \dots, \alpha_n $.
Lássuk be, hogy a $ (\chi_{kl}(z))_{k,l=1,\dots,n} $ mátrix sajátértékei
$$ 
{\chi(z) \over \alpha_m - z} \quad 
  (m = 1, \dots, n)
$$


% Cauchy -------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
(a) törölve

(b) Legyen a 3-térben egy test olyan tulajdonságú,
hogy szakaszban vagy pontban (vagy az üres halmazban) metsz
minden, a koordinátatengelyek bármelyikével párhuzamos egyenest.
Legyen a test vetülete a koordinátasíkokra
$ P $, $ Q $, illetve $ R $ területű. 
Legyen a test felszíne $ A $.
Lássuk be, hogy
$$
2 \sqrt{P^2 + Q^2 + R^2} \le A \le 2 (P + Q + R)
$$
Igazoljuk, hogy a becslés éles.


% vége ---------------------------------------------------------------

\end{document}
