% Zsban Ambrus
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 4.

0. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. szeptember 12.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy a
$$
2^{2^0} + 1, 2^{2^1} + 1, \dots, 2^{2^k} + 1, \dots
$$
sorozat tagjai páronként relatív prímek.
    
    
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $n$-hez van olyan $p_1, p_2, \dots p_n$ pozitív prímekből álló növő
sorozat, hogy $\frac{p_n}{p_1}<\frac{n+1}{n-1}$.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Jelölje $ C_n $ azon $ 2n $ hosszú sorozatok halmazát, 
amelynek $ n $ tagja $ +1 $, a többi $ n $ tagja $ -1 $,
és minden kezdőszeletének összege nemnegatív.

Adjunk kétféle kombinatorikus bizonyítást arra, hogy 
$$ 
  C_n = 
    \binom{2n}n - \binom{2n}{n - 1} = 
    \frac1{2n + 1} \binom{2n + 1}n 
$$

Lássuk be, hogy egy $ n + 2 $ oldalú szabályos sokszöget $ C_n $-féle 
módon lehet felbontani háromszögekre.

Lássuk be, hogy egy $ 2n $ oldalú szabályos sokszög oldalfelezőit
$ C_n $-féle módon lehet párosával összekötni úgy,
hogy az összekötő szakaszok ne messék egymást.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy az 
$ f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \dots + a_n z^n $
polinom az $ |z| < 1 $ egységkörlemezt egyrétűen (injektív módon) képezi le.
Bizonyítsuk be, hogy $ n |a_n| \le 1 $.


%----------------------------------------------------------------
% illés
\feladat
Bizonyítsuk be, hogy akárhogyan színezzük véges sok színnel a végtelen szabályos háromszögrács csúcsait, mindenképpen lesz olyan szabályos háromszög, melynek oldalai párhuzamosak a rácsegyenesekkel és csúcsai egyszínűek.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
% 18. 2. feladat
Bizonyítsuk be, hogy 
ha egy racionális függvény végtelen sok egész helyen egész számot vesz fel, 
akkor polinom.


% ----------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Keressük meg az összes olyan 
$ f : \mathbb{Z}^+_0 \to \mathbb{R}^+_0 $ függvényt,
amelyre teljesül a következő függvényegyenlet.
$$
f(x^2 + y^2) = (f(x))^2 + (f(y))^2
$$


% ----------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Tegyük fel, hogy $ 1 < d_k $ egész, 
és $ d_k^2 \le d_{k+1} $ 
minden $ k $ természetes számra.  
Lássuk be, hogy a
$$
\sum_{0\le k} \frac{1}{d_n}
$$
sor összege irracionális.


% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

