%
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 4.

1. feladatsor, javított változat

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. szeptember 19.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
%ambrus
\feladat
Mutassuk meg, hogy ha egy eg\'esz elem\^u m\'atrix minden sor\'anak \"osszege oszthat\'o $ d $-vel,
akkor a m\'atrix determin\'ansa is oszthat\'o $ d $-vel.


%----------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Határozzuk meg az $n$-dimenziós, $R$ sugarú gömb térfogatát.


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizony{\'\i}tsuk be, hogy a
$ z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z^1 + a_0 $
polinom abszol\'ut \'ert\'ek\'enek maximuma a $ |z| = 1 $ k\"or\"on
legal\'abb $ 1 $.


% ---------------------------------------------------------------
% illés
 
\feladat
\begin{itemize}

\item[(a)] Az egységkörvonalon felveszünk $n$ pontot egymástól függetlenül, egyenletes eloszlással. Határozzuk meg az általuk meghatározott (konvex) sokszög területének várható értékét. 

\item[(b)] Legyen $a_n$ a körlapból \emph{kimaradó} terület várható értéke az előbbi esetben és $b_n$ a kimaradó terület szabályos $n$-szög esetén. Mutassuk meg, hogy

$$\lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=6.$$

\end{itemize}

 
% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
\newcommand{\Han}[2]{A_{#2}^{(#1)}}
Definiáljuk az
$ f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots + a_k z^k + \dots $
hatv\'anysorhoz tartoz\'o Hankel-f\'ele determin\'ansokat a k\"ovetkez\H{o}k\'eppen:
$$
\Han{r}{n} = \begin{vmatrix}
  a_n & a_{n+1} & a_{n+2} & \dots & a_{n+r-1} \\
    a_{n+1} & a_{n+2} & a_{n+3} & \dots & a_{n+r} \\
      a_{n+2} & a_{n+3} & a_{n+4} & \dots & a_{n+r+1} \\
        \vdots \\
	  a_{n+r-1} & a_{n+r} & a_{n+r+1} & \dots & a_{n+2r-2}
	  \end{vmatrix}
	  $$

Legyen $ f(z) $ racion\'alis f\"uggv\'enye $ z $-nek
$ r - 1 $ fok\'u nevez\H{o}vel, \'es $ p $ fok\'u sz\'aml\'al\'oval.
	  Legyen $ d = \max(0, r - q) $.
	  L\'assuk be, hogy ekkor
	  $$
	    0 = \Han{r}{d} = \Han{r}{d+1} = \dots = \Han{r}{d+k} = \dots
$$

Igaz-e az \'all{\'\i}t\'as megford{\'\i}t\'asa?

% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyen $ f(x, y) = (xy) \bmod (x+y) $, 
és valamely $x_0, x_1$ pozitív egészekre definiáljuk az $x_k$ sorozatot a következő módon:
$$x_k=f(x_{k-1},x_{k-2}).$$

Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ pozitív egészhez van olyan $x_0$ és $x_1$, hogy az így kapott számsorozat egy $n$ hosszú ciklus.

% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

