%
% polya-szego
%

% LaTeX deklarációk -----------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\pagestyle{empty}


% definíciók ------------------------------------------------------------

% warning, works only for single-line pars
\def\centerlines{\parindent0pt\parfillskip0pt\leftskip0ptplus1fil\rightskip\leftskip\relax}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}
%\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\noindent\llap{\bf\the\count1. }}
\newcommand{\ud}{\mathrm{d}}


% fejléc -------------------------------------------

\begin{document}

{\centerlines\bf

Pólya--Szegő szeminárium 4.

2. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. szeptember 26.

\par}\vskip1\bigskipamount


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy
a négyzetrácson bármely üres rácsháromszög magasságpontja is rácspont.


% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Van-e olyan $A\subset \mathbb{Z}^+$ végtelen halmaz, melyre teljesülnek az alábbiak:
\begin{itemize}

\item[(i)] $a, b \in A$ esetén $a$ nem osztója $b$-nek és ($b$ nem osztója $a$-nak),

\item[(ii)] $a, b \in A$ esetén $(a,b)>1$, és

\item[(iii)] $A$ összes elemének legnagyobb közös osztója $1$?

\end{itemize}


% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
\newcommand{\dee}{d}
Definiáljuk a Legendre-polinomokat a következőképpen.
$$
P_n(x) = \frac1{2^n n!} \frac{\dee^n}{\dee x^n} (x^2 - 1)^n
$$

Lássuk be, hogy teljesül a következő ortogonalitási feltétel,
ha $ K(x) $ legfeljebb $ n - 1 $ fokú polinom.
$$
\int_{-1}^1 P_n(x) K(x)\, \dee x = 0
$$

Lássuk be, hogy a következő rekurzió teljesül minden $ 2 \le n $ esetén.
$$
P_n(x) = \frac{2n - 1}n\, x\, P_{n-1}(x) - \frac{n - 1}n\, P_{n-2}(x)
$$


% ---------------------------------------------------------------
% illés
 
\feladat
Legyen $\Pi:\mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$ bijekció. Mutassuk meg, hogy

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n\Pi(n)}<\infty.$$

Van-e olyan $C$ konstans, ami minden $\Pi$-re felső korlátja az előbbi összegnek?

 
% ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Legyenek $n,k$ pozitív egészek. Mutassuk meg, hogy az

$$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\dots+\frac{1}{n+k}$$
összeg nem egész.

% ---------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Adott a négyzetrácson egy (a rácsegyenesekkel párhuzamos oldalú) rácstéglalap.
A téglalapot felosztjuk üres rácsháromszögekre.
Bizonyítsuk be, hogy a rácsháromszögek között legalább kétszer annyi derékszögű van,
amilyen hosszú a téglalap rövidebbik oldala.


% vége ----------------------------------------------------------

\end{document}

