% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\count1 0
\def\feladat{\global\advance\count1 1\bigskip\indent{\bf\the\count1. }}

\newenvironment{header}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{header}

Pólya--Szegő szeminárium 4.

3. feladatsor

% LC_TIME=hu_HU date "+%Y. %B %e."
2005. október  3.

\end{header}


% könnyű polinom -----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy ha egy $ 1 $ főegyütthatós komplex polinom 
együtthatóinak abszolútértéke legfeljebb $ 1 $,
akkor gyökei $ 2 $-nél kisebb abszolút értékűek.


% illés

\feladat
Legyen $G$ irányított gráf. Bizonyítsuk be, hogy $G$-nek pontosan akkor van irányított Hamilton-köre, ha bármely csúcsából bármelyik csúcsa elérhető irányított úton.


% hatványsor ---------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Ha $ f $ egész együtthatós polinom, akkor 
$$
\frac1e \left( f(0) + \frac{f(1)}{1!} + \frac{f(2)}{2!} + \dots + \frac{f(k)}{k!} + \dots \right)
$$
egész szám.

% illés

\feladat
Legyenek $p_1, p_2, \dots, p_n$ rögzített prímszámok, és tekintsük az összes olyan pozitív egész számot, aminek minden prímosztója ezek közül való. Bizonyítandó, hogy akárhogyan is választunk ki ebből a halmazból végtelen sok számot, lesz kettő, melyek közül az egyik osztja a másikat.

%illés

\feladat
Számoljuk meg az olyan erdőket az $1, 2, \dots, n$ csúcsokon, melyeknek $k$ komponense van, és az $1, 2, \dots, k$ csúcsok különböző komponensekbe tartoznak ($k$ és $n$ pozitív egészek, $k\leq n$; erdő egy olyan gráf, melynek minden komponense fa).


\end{document}
