% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newenvironment{feladatsor}[3]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{feladatsor}{4}{6}{2005. október 24.}



% rutin -----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Lássuk be, hogy egy irányított körmentes gráf csúcsait
meg lehet számozni úgy,
hogy csak kisebb számú csúcsból nagyobb számúba mutat él.
Másképpen szólva lássuk be, 
hogy minden részben rendezés (véges halmazon) kiterjeszthető teljes rendezéssé.


% elemi --------------------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Hányféleképpen lehet egy $ n $ centis mérőszalagot egy centi hosszú darabokra vágni,
ha minden lépésben
(a) minden egy centinél hosszabb darabot, illetve
(b) csak egy darabot 
vágunk ketté, és csak egész centiméternél vághatunk.



\feladat
Egy foly\'o bal partján $n$ lovag van, mindegyik az apr\'odjával. \'At lehet-e juttatni őket a túlpartra egy kétszemélyes cs\'onakkal, ha apr\'od soha nem maradhat a lovagja nélk\"ul más lovagok társaságában?



% eloszlás-------------------------------------------------------
%illés

\feladat Adjunk meg olyan $p_1, p_2,\dots $ számokat, melyekre
$p_n\geq 0$, $\sum_{n=1}^\infty p_n=1$ és bármely $S:\mathrm{Z}^+\to
\mathrm{Z}^+$ bijekcióra

$$\sum_{n=1}^\infty p_n S(n)=\infty.$$

(Azaz bárhogyan ,,szórjuk le'' a $p_1, p_2,\dots$ számokat a számegyenesre,
olyan eloszlást kapunk, melynek végtelen a várható értéke.)


% Lagrange-féle inverziós formula -------------------------------
% ambrus

\feladat
Lagrange-féle invertálási formula.
Legyen az $ f $ függvény a következő végtelen hatványsorral definiálva.
$$
f(x) = x + V_2 x^2 + V_3 x^3 + \dots
$$
Ekkor $ f $ inverz függvényének, $ g $-nek a hatványsorát a következőképpen kaphatjuk meg:
$$
g(y) = y - W_2 y^2 - W_3 y^3 - \dots
$$
ahol $ W_n = U_{n,n-1}/n $, ha
$$
(1 + V_2 x + V_3 x^2 + \dots)^{-n} = U_{n,0} + U_{n,1} x + U_{n,2} x^2
$$




% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
