% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newenvironment{feladatsor}[3]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{feladatsor}{4}{7}{2005. november 7.}



% rutin -----------------------------------------------------------
% illés

\feladat

Bizonyítsuk be, hogy ha $n\geq 5$ egész, akkor $\lfloor \frac{n^2}{3}\rfloor$ összetett szám.


% x^x^... --------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ pozitív egészhez létezik olyan $x$ pozitív egész szám, hogy az

$$ x+1, x^x+1, x^{x^x}+1,\dots $$

sorozat minden tagja osztható $n$-nel.


% eloszlás-------------------------------------------------------
%illés

\feladat
Legyen egy $\pi\in S_n$ permutáció $\mathrm{inv}(\pi)$ inverziós száma az olyan $i<j$ párok száma, melyekre $\pi(i)>\pi(j)$. Bizonyítsuk be, hogy $\mathrm{inv}(\pi)=\mathrm{inv}(\pi^{-1})$.



% Lagrange-féle inverziós formula -------------------------------
% ambrus

\feladat
Legfeljebb hány (a) páros, illetve (b) páratlan elemszámú
részhalmazt lehet kiválasztani egy $ 2n $ elemű halmazból
úgy, hogy bármely kettőnek a metszete páros elemszámú legyen?



\feladat
Jelölje a Catalan-számokat
$$
C_k = \frac {1}{k + 1} \binom {2k}k
$$
Lássuk be, hogy
$$
1 = \begin{vmatrix}
C_0 & C_1 & \dots & C_{n-1} \\
C_1 & C_2 & \dots & C_n \\
\vdots \\
C_{n-1} & C_n & \dots & C_{2n-2}
\end{vmatrix}
$$







% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
