% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newcommand{\titlesuffix}{}
\newenvironment{feladatsor}[4]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor\titlesuffix

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\renewcommand{\titlesuffix}{, javított változat}
\begin{feladatsor}{4}{8}{2005. november 14.}



% 10101 ---------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Határozzuk meg, a következő sorozat elemei közül melyek prímszámok:

$$101, 10101, 1010101, \dots$$


\feladat
Legyen $ (s_n) $ pozitív számok monoton növő, végtelenhez tartó sorozata.
Definiáljuk a sorozat $ N $ számláló függvényét:
minden pozitív $ s $-re
$ N(s) $ legyen a sorozat $ s $-nél
nem nagyobb tagjainak száma.

Lássuk be, hogy
$$
\liminf_{n\to\infty} \frac{s_n}{n} = \liminf_{s\to\infty} \frac{s}{N(s)},\quad
\limsup_{n\to\infty} \frac{s_n}{n} = \limsup_{s\to\infty} \frac{s}{N(s)}
$$



% lnko --------------------------------------------------------------
% illés

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy minden $k$ pozitív egészhez van olyan $N(k)$
szám, hogy $n>N(k)$ esetén
$$[1,2,\dots,n]>n^k.$$

(Itt $[1,2,\dots,n]$ az $1,2,\dots,n$ számok legkisebb közös többszöröse.)

% Tom és Jerry-------------------------------------------------------
%illés
\feladat
Legyen az $ f $ korlátos (valós) függvény Riemann-integrálható a $ [0, 1] $ intervallumon.
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív $ \varepsilon $-hoz
található olyan $ p $ polinom,
amelyre $ p(x) \le f(x) $ minden $ x \in [0, 1] $-re, de
$$ \int_0^1 (f(x) - p(x))\,dx < \varepsilon $$



\feladat
Jelölje $ P(n,k) $ azt a számot,
ahányféleképpen $ n $-et $ k $ darab
egynél nagyobb egész szorzatára lehet bontani,
ha a tényezők sorrendje is lényeges.

Lássuk be, hogy egynél nagyobb $ n $-re
$$
\mu(n) = -P(n, 1) + P(n, 2) - P(n, 3) + \dots
$$
ahol $ \mu $ a Möbius-függvény.


\feladat
Jerry egy négyzet alakú medencében középen van, míg Tom a parton
várakozik. Tom négyszer olyan gyorsan fut, mint ahogy Jerry úszik,
viszont Jerry gyorsabban fut, mint Tom. El tud-e menekülni Jerry?

% Lagrange-féle inverziós formula -------------------------------
% ambrus









% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
