% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newcommand{\titlesuffix}{}
\newenvironment{feladatsor}[4]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor\titlesuffix

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\renewcommand{\titlesuffix}{, javított változat}
\begin{feladatsor}{4}{9}{2005. november 21.}


\feladat
Mutassuk meg, hogy ha $G$ teljes irányított gráf nem erősen összefüggő, akkor van olyan éle, amelyet megfordítva erősen összefüggővé tehető.


\feladat
Legyen $ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_r x^r $,
és tegyük fel, hogy
az $ a_1, a_2, \dots, a_r $ valós számok közül legalább az egyik irracionális.
Bizonyítsuk be, hogy a $ P(n) - \lfloor P(n) \rfloor $ sorozatnak
végtelen sok torlódási pontja van.


\feladat
Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan $n$ pozitív egész létezik, melyre

$$ 2^n \equiv 1 \pmod{n} $$

\feladat
Legyen $A$ részbenrendezett halmaz, mely teljesíti a következő két feltételt: 
(a) nincsen $A$-ban végtelen leszálló lánc, 
(b) $A$ bármely végtelen részében van két összehasonlítható elem. 
Bizonyítsuk be, hogy ekkor kiválasztható véges sok $a_1, a_2, \dots, a_n$ elem $A$-ból úgy, 
hogy bármely másik elemnél kisebb az $a_i$-k valamelyike.


% catalan mátrix megint -----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tekintsük az $ U_n(x/2) $ Csebisev-polinomok együtthatóit:
$$
U_n(x/2) = u_{n,n} x^n + u_{n,n-1} x^{n-1} + \dots + u_{n,1} x^1 + u_{n,0} \\
$$
ahol
$$
U_n(\cos \vartheta) = \sin((n + 1)\vartheta) /\! \sin \vartheta \\
$$

Másrészt legyen $ c_{y+x,y-x} $ 
az origóból az $ (x, y) $ pontba vezető olyan utak száma, 
amelyek $ y $ darab felfele mutató $ (0, 1) $,
és $ x $ darab jobbra vezető $ (1, 0) $ szakaszból állnak,
és teljesen az $ x = y $ átló felett mennek.  
Ha $ k $ és $ l $ paritása különböző, akkor legyen $ c_{k,l} = 0 $.

Az előbbi két számtáblázatból háromszög-mátrixot képezünk.
Lássuk be, hogy a két kapott mátrix egymás inverze:
$$
\begin{pmatrix}
	u_{0,0} & 0 & 0 & \dots & 0\\
	u_{1,0} & u_{1,1} & 0 & \dots & 0 \\
	u_{2,0} & u_{2,1} & u_{2,2} & \dots & 0 \\
	\vdots & & & \ddots & \\
	u_{N,0} & u_{N,1} & u_{N,2} & \dots & u_{N,N} \\
	\end{pmatrix}
    \begin{pmatrix}
	c_{0,0} & 0 & 0 & \dots & 0\\
	c_{1,0} & c_{1,1} & 0 & \dots & 0 \\
	c_{2,0} & c_{2,1} & c_{2,2} & \dots & 0 \\
	\vdots & & & \ddots & \\
	c_{N,0} & c_{N,1} & c_{N,2} & \dots & c_{N,N} \\
	\end{pmatrix}
    = I
$$


% közönséges konvergencia kiterjed ------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen $ g $ a függvény $ z_0 $ egy környezetében reguláris.
Ha a 
$$ 
g(z) + g'(z) + g''(z) + \dots + g^{(n)}(z) + \dots 
$$ 
sor konvergens
$ z = z_0 $-ban, 
akkor $ g $ reguláris módon kiterjeszthető az egész komplex számsíkra,
és a sor mindenhol konvergens. 



% polinom torl pontjai ---------------------------------------------------
% (szép megoldása van)
% ambrus 



% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
