% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newenvironment{feladatsor}[3]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{feladatsor}{4}{10}{2005. november 28.}


\feladat
$$ \lim_{x\to\pi} \frac{\sin\sin\sin x}{x-\pi}=? $$


% polinom legkisebb gyöke -----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Tegyük fel, hogy az $ f $ polinomnak 
$ a $ az egyetlen legkisebb abszolút értékű gyöke, és $ 0 \ne a $.
Legyen 
$$
-\frac{f'(z)}{f(z)} = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots + c_k z^k + \dots
$$
Lássuk be, hogy ekkor
$$
a = \lim_{n\to\infty} \frac{c_{n-1}}{c_n}
$$


% R-integrálhatóság öröklődik-e -------------------------------------------------------
% ambrus
% R-integrálható függvény folytonos függvénye is R-integrálható

\feladat
Létezik-e két olyan Riemann-integrálható
$ [0, 1] \to [0, 1] $ függvény, 
amelyeknek a kompozíciója nem Riemann-integrálható?


% hegyesszögek száma -------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Egy $ n $ oldalú sokszögnek legfeljebb 
$ \lfloor 2n/3 \rfloor + 1 $ hegyesszöge lehet,
és ez a becslés éles.

\feladat
Lássuk be, hogy a $\langle\mathbb{Q},+\rangle$ csoportnak (a) nincs véges generátorrendszere, (b) bármely generátorrendszeréből véges sok elemet elhagyva generátorrendszert kapunk.



% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
