% Pólya--Szegő feladatsor, Zsbán Ambrus

% deklarációk --------------------------------------------------

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\pagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}

\newcounter{feladatcnt}
\newenvironment{feladatlst}{%
	\begin{list}{\textbf{\arabic{feladatcnt}. }\hfill}{
		\usecounter{feladatcnt}
		\setlength{\labelwidth}{\parindent}\setlength{\labelsep}{0pt}
		\setlength{\listparindent}{\parindent}\setlength{\itemindent}{\parindent}
		\setlength{\leftmargin}{0pt}\setlength{\rightmargin}{0pt}
		\setlength{\topsep}{0pt}\setlength{\parsep}{0pt}\setlength{\partopsep}{0pt}
		\setlength{\itemsep}{\bigskipamount}\setlength{\parskip}{\itemsep}
	}}{\end{list}}
\newcommand{\feladat}{\item}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}

\newenvironment{leafletheader}%
	{\begin{center}\bfseries}%
	{\end{center}\bigskip}

\newenvironment{feladatsor}[3]{

	\begin{leafletheader}

	Pólya--Szegő szeminárium #1.

	#2. feladatsor

	#3

	\end{leafletheader}

	\begin{feladatlst}

}{

	\end{feladatlst}

}


% fejléc -------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{feladatsor}{4}{11}{2005. december 5.}



% paralelogramma-rács -----------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyen a síkon $ \mathbf{a}_0, \mathbf{a}_1 $ két lineárisan független vektor,
és $ \mathbf{b} $ egy tetszőleges vektor.
Ezek kifeszítenek egy paralelogrammarácsot, amelynek pontjai 
$ k_0\mathbf{a}_0 + k_1\mathbf{a}_1 + \mathbf{b} $ minden 
$ k, l $ egész számpárra.
A bázisparalelogramma területe $ d = |\mathbf{a}\times\mathbf{b}| $.
Lássuk be, hogy ekkor van olyan $ (x, y) $ rácspont, amelyre $ |x\cdot y| \le d/4 $.

% tortresz-osszeg --------------------------------------------------------------
% illes

\feladat
Számítsuk ki az alábbi összeget minden valós $x$ és pozitív egész $n$ esetén:

$$\sum_{k=1}^n\left\lfloor 2^kx+\frac{1}{2} \right\rfloor$$

% Noether-gyuru ----------------------------------------------------------------
% illes

\feladat
Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges Noether-gyűrűben a $\{0\}$ ideál előáll prím\-ideálok szorzataként.


% negyedik hatványok -------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Adjunk meg egy $ P $ korlátot, amelyre
minden pozitív egész szám felírható 
$ P $ darab egész szám negyedik hatványának összegeként.


% descartes-jelszabály ------------------------------------------------------
% ambrus

\feladat
Legyenek $ 0 \le \alpha_1 < \dots < \alpha_n $ egész számok, 
és $ 0 < x_1 < \dots < x_n $ valósak.
Lássuk be, hogy az
$$
\begin{vmatrix}
x_1^{\alpha_1} & x_1^{\alpha_2} & \dots & x_1^{\alpha_n} \\
x_2^{\alpha_1} & x_2^{\alpha_2} & \dots & x_2^{\alpha_n} \\
\vdots \\
x_n^{\alpha_1} & x_n^{\alpha_2} & \dots & x_n^{\alpha_n} \\
\end{vmatrix}
$$
determináns (a) nullától különböző, sőt (b) pozitív.

\feladat Mutassunk olyan $f$ mindenütt differenciálható valós függvényt, melyhez van olyan korlátos és zárt intervallum, hogy az $f'$ függvény ezen az intervallumon korlátos, de nem veszi fel sem a szuprémumát, sem az infémumát.


% -----------------------------------------------------------

\end{feladatsor}

\end{document}
