Operátorelmélet
Matematikusok operátorelmélet választható előadása,
2025/2026 I. félévében.
Tárgykövetelmény: Operátorelmélet.
Az órák helye és ideje:
Vizsgakövetelmény: Tételsor. (A félév vége felé várható.)
Vázlatos tematika:
Az előadások tematikái:
| Hét: | Előadás anyaga: | ||
| 1. hét |
Definíció.
Topology.
Open set, closed set.
Discrete and antidiscrete topology.
Pushback topology and pushforward topology.
Subspace topology.
Base of a topology.
Neighborhood of a point. Neighborhood basis of a point.
M1 and M2 spaces.
Interior and closure of a set.
Inner point, accumulation point of a set.
Dense set. Separable space.
Weaker (coarser, smaller) topology and stronger (finer, larger) topology. Tétel. Every family of topologies has infimum and supremum in the set of topologies. Definíció. Infimum and supremum of topologies. Projective (initial) and inductive (final) topology. Product topology. Tétel. Base of infimum and supremum topology. Definíció. Hausdorff (T2), regular and normal topological space. Tétel. Urysohn Tétel. Tietze Tétel. Definíció. Upward directed preordered set. Net. Limit point of a net. Continuous function. Compact set. Tétel. In a Hausdorff space every compact set closed and normal. In a Hausdorff space every closed subset of a compact set is compact. Cantor Tétel for compact sets. Continuous image of a compact set is compact. Tyhonov Tétel. Definíció. Sigma compact and locally compact set. | ||
| 2. hét |
Definíció.
Scalar product, norm. Equivalent norms. Normed space, Banach space, Hilbert space. Orthogonality of vectors and subsets.
Nowhere dense set. Set of first and second category.
Convex, symmetric, balanced and absorbing set in normed space. Tétel. Baire category Tétel. In a Banach space every proper closed subspace is nowhere dense. There is no countable infite dimensional Banach space. In a Banach space every closed convex absorbing set is a neighborhood of the origin. Definíció. Linear operators. Norm of continuous linear operator. Dual space of a normed space. Reflexive space Tétel. The space of continuous linear operators operator norm is a normed space. If $E$ is a Banach space and $\mathcal{L}(E)$ denotes the set of $E\to E$ continuous linear operators with the operator norm, then $\mathcal{L}(E)$ is a Banach space where the operator norm is submultiplicative. If $\Hi$ is a Hilbert space, $W\subseteq\Hi$ is a convex closed not empty set and $x\in\Hi$, then there exists a unique $y\in W$, such that $\di\dist_{W}(x)=\inf_{z\in W}\norm{z-x}=\norm{x-y}$. Let $\Hi$ be a Hilbert space, $W\subseteq\Hi$ a closed subspace and $x\in\Hi$. Let $x_{W}\in W$ be the unique vector for which $\di\inf_{z\in W}\norm{z-x}=\norm{x-x_{W}}$ holds. Then $x_{W}$ is the only vector in $W$ with the $x-x_{W}\perp W$ property.
If $\Hi$ is a Hilbert space and $W\subseteq\Hi$ is a closed linear subspace, then $W=W^{\perp\perp}$. If $\Hi$ is a Hilbert space and $L\subseteq\Hi$ is a subspace, then $\overline{L}=L^{\perp\perp}$. If $\Hi$ is a Hilbert space, $\kz{0}\neq W\subseteq\Hi$ is a close subspace and $P:\Hi\to\Hi$, $P(x)=x_{W}$, then $P$ is linear, $\Ran P=W$, $\Ker P=W^{\perp}$, $P^{2}=P=P^{*}$ and $\norm{P}=1$. Definíció. Subadditive, positive homogeneous and sublinear functional. Seminorm. Tétel. Hahn-Banach Tétel. Dual of a normed space is separating. If $E$ is a normed space, then for every $x\in E$ the equality $\di\norm{x}=\sup_{f\in E', \norm{f}\leq 1}\abs{f(x)}$ holds. Banach open mapping Tétel. Banach Tétel about continuous inverse. If $E$ is Banach space with norms $\norm{\cdot}_{1}$ and $\norm{\cdot}_{2}$, and there exists a $K$, such that $\norm{\cdot}_{1}\leq K\norm{\cdot}_{2}$, then the norms are equivalent. If $A:E\vto F$ is a closed linear injective map between Banach spaces then $A^{-1}$ is closed. Uniform boundedness principle. | ||
| 3. hét |
Tétel.
Riesz reprezentációs tétel.
Banach–Steinhaus-tétel. Definíció. Zárt és lezárható operátor. Definíció. Sűrűn értelmezett $A:\Hi\vto\Hi$ operátor adjungáltja. Normális, önadjungált, szimmetrikus, lényegében önadjungált és unitér operátor. Projekció. Tétel.
Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$, akkor $\norm{A^{*}}=\norm{A}$ és $\norm{A^{*}A}=\norm{A}^{2}$. Definíció. A $D$, a $P_{\alpha}$ ($\alpha\in\C$, $\abs{\alpha}=1$) és a $P_{0}$ differenciáloperátor a $L^{2}\gz{\sz{-\pi,\pi},\C}$ téren, valamint a $P$ differenciáloperátor a $L^{2}\gz{\R,\C}$ téren. Tétel. $P_{0}^{*}=D\quad D^{*}=P_{0}\quad P_{\alpha}^{*}=P_{\alpha}\quad P^{*}=P$ | ||
| 4. hét |
Tétel.
Zárt gráf tétel. Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett operátor, akkor $\gz{\Ran A}^{\perp}=\Ker A^{*}$ és $\overline{\Ran A}=\gz{\Ker A^{*}}^{\perp}$ . Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett injektív operátor és $\Ran A$ sűrű, akkor $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$. Ha $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett zárt operátor, akkor $\Dom A^{*}$ sűrű. Egy $A\in L(\Hi)$ sűrűn értelmezett operátor pontosan akkor lezárható, ha $\Dom A^{*}$ sűrű és ebben az esetben $\overline{A}=A^{**}$. Komplex számtest feletti Hilbert-téren, egy sűrűn értelmezett $A\in L(\Hi)$ operátor pontosan akkor szimmetrikus, ha minden $x\in\Dom A$ esetén $\scal{x,Ax}\in\R$. Komplex számtest feletti Hilbert-téren, egy sűrűn értelmezett $A\in L(\Hi)$ operátor pontosan akkor zérusoperátor, ha minden $x\in\Dom A$ esetén $\scal{x,Ax}=0$. Ha $A\in\mc{L}(\Hi)$ önadjungált, akkor $\di \norm{A}=\sup_{\norm{x}\leq 1}\abs{\scal{x,Ax}}$. Definíció. Algebra, egységelemes algebra. Algebramorfizmus. Ideál, reguláris ideál, maximális ideál, valódi ideál. Karakter, karakter tér ($X(\mA)$). Tétel. Ha $m$ ideál az $\mA$ algebrában, akkor az $A/m$ halmaz természetesen módon látható el algebrai struktúrával. A $\pi:\mA\to\mA/m$, $a\mapsto a/\sim\ $ faktorleképezés algebramorfizmus. Algebra egységelemesítése. Definíció. Faktoralgebra, műveletek a faktoralgebrában. Standard egységelemesítés ($\tilde{\mA}$). Tétel. Az $m$ ideál pontosan akkor reguláris, ha $\mA/m$ egységelemes és nem nulla dimenziós. Karakter magja 1 kodimenziós reguláris ideál. A $\Ker:X(\mA)\to\kz{m\subseteq\mA : m\ \mbox{1 kodimenziós reguláris ideál}}$ leképezés bijekció. Egységelemes algebrában minden valódi ideál része egy maximális ideálnak. | ||
| 5. hét |
Tétel.
Ha $m$ reguláris maximális ideál $\mA$-ban, akkor létezik olyan $\tilde{m}$ maximális ideál
$\tilde{\mA}$-ban, hogy $m=\tilde{m}\cap\mA$. Ha $m$ reguláris maximális ideál a $K$ test feletti kommutatív $\mA$ algebrában, akkor $\mA/m$ testbővítése $K$-nak. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ lineáris altér akkor a $p:V/m\to\R$, $\eta\mapsto\inf\kz{\norm{x}: x\in\eta}$ leképezés pontosan akkor norma a $V/m$ faktortéren, ha $m$ zárt. Ha $V$ normált tér, $m\subseteq V$ zárt lineáris altér akkor a $p:V/m\to\R$, $\eta\mapsto\inf\kz{\norm{x}: x\in\eta}$ leképezés folytonos és nyílt. Ha $V$ Banach-tér és $m$ zárt lineáris altér, akkor $V/m$ is Banach-tér. Definíció. Normált algebra, Banach-algebra. Tétel. Ha $A$ normált algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is normált algebra. Ha $A$ Banach-algebra és $m$ zárt ideálja, akkor $A/m$ is Banach-algebra. Definíció. Elem spektrálsugara ($\rho(a)$). Tétel. Ha $\mA$ normált algebra és $a\in\mA$, akkor $\di\rho(a)=\lim_{n\to\infty}\root{n}\of{\norm{a^{n}}}$. Ha $\mA$ normált algebra, $a,b\in\mA$, $\lambda\in\K$ és $k\in\N^{+}$, akkor $\rho(\lambda a)=\abs{\lambda}\rho(a)$, $\rho(a^{k})=\rho(a)^{k}$ és $ab=ba$ esetén $\rho(ab)\leq\rho(a)\rho(b)$. Carl Neumann-sorfejtés: Ha $\mA$ egységelemes Banach-algebra és az $a\in\mA$ elemre $\rho(a)<1$ teljesül, akkor $(1-a)$ invertálható és $\di\sum_{n=0}^{\infty}a^{n}=(1-a)^{-1}$. Ha $G(\mA)$ jelöli az $\mA$ egységelemes Banach-algebra invertálható elemeinek halmazát, akkor minden $a\in G(\mA)$ esetén $\di B_{\frac{1}{\Vert a^{-1}\Vert}}(a)\subseteq G(\mA)$ teljesül; $G(\mA)$ nyílt halmaz; továbbá az $i:G(\mA)\to G(\mA)$, $i(a)=a^{-1}$ invertálás folytonos művelet. Ideál lezártja ideál. Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál zárt. Definíció. Egységelemes algebrában elem spektruma illetve tetszőleges algebrában elem vesszős spektruma. Tétel. Rickart-tétel: Ha $\mA$ nem nulladimenziós egységelemes komplex normált algebra és $a\in\mA$, akkor létezik olyan $z\in\Sp(a)$, melyre $\abs{z}\geq\rho(a)$ teljesül. Gelfand-Mazur-tétel: Ha $\mA$ olyan egységelemes komplex normált algebra, melyben a nullán kívül minden elem invertálható, akkor $A=\C\cdot 1$. | ||
| 6. hét |
Tétel.
Kommutatív $\C$ feletti Banach-algebrában minden reguláris maximális ideál $1$ kodimenziós. Ha $\mA$ egységelemes algebra, akkor minden $a\in\mA$ és $\chi\in X(\mA)$ esetén $\chi(a)\in \Sp(a)$. Ha $\mA$ és $\mc{B}$ egységelemes algebra, valamint $\pi:\mA\to\mc{B}$ egységelemtartó algebra morfizmus, akkor minden $a\in\mA$ esetén $\Sp(\pi(a))\subseteq\Sp(a)$ teljesül. Ha $A$ egységelemes Banach-algebra és $a\in\mA$, akkor $\Sp(a)\subseteq\K$ kompakt halmaz, valamint $\Sp(a)\subseteq\overline{B_{\rho(a)}(0)}$. Spektrálsugár minimalitási tulajdonsága: Ha $\mA$ $\C$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in\mA$ esetén $\rho(a)=\min\kz{r\in\R\vert\ \Sp'(a)\subseteq\overline{B_{r}(0)}}$. Ha $A$ Banach-algebra, akkor minden $a\in A$ elemre és $\chi\in X(A)$ karakterre $\vert\chi(a)\vert\leq\rho(a)\leq\Vert a\Vert$ teljesül. Tétel. Egészfüggvény számítás: Legyen $A$ egységelemes $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, $a\in A$ és jelölje $\mathscr{E}$ a $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ holomor függvények halmazát. Ekkor $\mathscr{E}\to A$, $f\mapsto f(a)$ olyan egységelem tartó algebra morfizmus, melyre minden $f\in\mathscr{E}$ esetén $f(\mathrm{Sp}(a))\subseteq\mathrm{Sp}(f(a))$ teljesül. Definíció. Involúció, valódi involúció. *-algebra, normált *-algebra, Banach-*-algebra. *-Algebrában: önadjungált, normális, pozitív, idempotens és projektor elem, egységelemes *-algebrában unitér elem. *-algebra-morfizmus. Komplex számtest feletti *-algebrában lineáris funkcionál adjungáltja, pozitív és önadjungált funkcionálok. Tétel. Komplex számtest feletti *-algebrán értelmezett funkcionál pontosan akkor önadjungált, ha minden önadjungált elemen valós az értéke. Definíció. Pre-C*-algebra és C*-algebra. Tétel. C*-algebra egységelemesítése: Legyen $\mathcal{A}$ C*-algebra és $\tilde{\mathcal{A}}=\mathbb{C}\times\mathcal{A}$ az egységelemesítésnél bevezetett algebrai műveletekkel ellátva. Ha $\mathcal{A}$ egységelemes, akkor $\tilde{\mathcal{A}}$ a $\Vert(\lambda,a)\Vert=\max\{\vert\lambda\vert,\Vert a+\lambda \Vert \}$ normával egységelemes C*-algebra; ha $\mathcal{A}$ nem egységelemes, akkor $\tilde{\mathcal{A}}$ a $\displaystyle\Vert(\lambda,a)\Vert=\sup_{\Vert x\Vert\leq 1}\Vert \lambda x+ax\Vert$ normával egységelemes C*-algebra. Ha $A$ C*-algebra, akkor normális $a\in A$ elemre $\rho(a)=\Vert a\Vert$ teljesül. Az $A$ egységelemes C*-algebrában minden untér $u\in A$ elemre $\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{T}$ teljesül. Az $A$ C*-algebrában minden önadjungált $a\in A$ elemre $\mathrm{Sp}(a)\subseteq\mathbb{R}$ teljesül. Ha $A$ C*-algebra, akkor minden $\chi\in X(A)$ karakterre $\chi^{*}=\chi$ teljesül. Definíció. Gelfand-topológia a karaktertéren. Tétel. A Gelfand-topológia szerinti konvergencia megegyezik a pontonkénti konvergencia topológiájával. Definíció. Gelfand-transzformáció: $\mc{G}:\mA\to\mc{F}(X(\mA),\K)$, $a\mapsto\gz{\chi\mapsto \chi(a)}$. Tétel. A Gelfand-transzformáció algebra morfizmus és a Gelfand-transzformált folytonos függvény. Ha $A$ Banach-algebra, akkor $X(A)$ lokálisan kompakt topologikus tér, valamint ha $A$ egységelemes is, akkor $X(A)$ kompakt. (Nem bizonyítjuk.) Ha $A$ Banach-algebra és $a\in A$, akkor $\mathcal{G}(a)\in\overline{\mathscr{K}}(X(A),\mathbb{K})$ és $\Vert\mathcal{G}(a)\Vert\leq\rho(a)$. Ha $A$ egységelemes kommutatív $\mathbb{C}$ feletti Banach-algebra, akkor minden $a\in A$ elemre $\mathrm{Ran}(\mathcal{G}(a))=\mathrm{Sp}(a)$, valamint $\Vert\mathcal{G}(a)\Vert=\rho(a)$. Gelfand-Naimark-tétel: Ha $\mathcal{A}$ kommutatív C*-algebra, akkor a $\mathcal{G}:\mathcal{A}\to\overline{C_{0}(X(\mathcal{A}),\mathbb{C})}$ Gelfand-transzformáció izometrikus *-algebra izomorfizmus. Ha $\mathcal{A}$ Banach-*-algebra, $\mathcal{B}$ pre-C*-algebra és $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ *-algebra morfizmus, akkor minden $a\in\mathcal{A}$ esetén $\Vert\pi(a)\Vert\leq\Vert a\Vert$. Ha $\mathcal{A}$ *-algebra C*-algebra a $\Vert\cdot\Vert_{1}$ és a $\Vert\cdot\Vert_{2}$ normával, akkor $\Vert\cdot\Vert_{1}=\Vert\cdot\Vert_{2}$. Ha $\mathcal{A}$ C*-algebra, $\mathcal{B}$ normált *-algebra és $\pi:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ injektív *-algebra morfizmus, akkor minden $a\in\mathcal{A}$ esetén $\Vert a\Vert\leq\Vert\pi(a)\Vert$. Ha $1\in B\subseteq A$, ahol $A$ egységelemes Banach-algebra, $B$ zárt részalgebra, akkor minden $b\in B$ elemre $\mathrm{Fr}(\mathrm{Sp}_{B}(b))\subseteq \mathrm{Fr}(\mathrm{Sp}_{A}(b))$ teljesül, ahol $\mathrm{Fr}(\Omega)=\overline{\Omega}\setminus \mathrm{Int}(\Omega)$. Az $A$ egységelemes C*-algebra és $B$ ennek olyan C*-részalgebrája, melynek eleme $A$ egységeleme, akkor $\forall b\in B$ elemre $\mathrm{Sp}_{B}(b)=\mathrm{Sp}_{A}(b)$. Legyen $T$ lokálisan kompakt topologikus tér, $\mathcal{A}=\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}$ és minden $F\subseteq T$ esetén legyen $m_{F}=\left\{a\in\mathcal{A}\vert\ \forall t\in F:\ a(t)=0 \right\}$. Ekkor $$\left\{ F\subseteq T\vert\ F\ \text{zárt}\right\}\to\left\{m\subseteq A\vert\ m\ \text{zárt ideál} \right\} \qquad F\mapsto m_{f}$$ bijekció, $$\left\{ F\subseteq T\vert\ F\neq\emptyset,\ F\ \text{kompakt}\right\}\to \left\{m\subseteq A\vert\ m\ \text{zárt reguláris ideál} \right\} \qquad F\mapsto m_{f}$$ bijekció és ha minden $t\in T$ esetén $\varepsilon_{t}:\mathcal{A}\to\mathbb{C}$, $a\mapsto a(t)$, akkor $\varepsilon:T\to X(\mathcal{A})$, $t\mapsto\varepsilon_{t}$ homeomorfizmus. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor minden $\pi:\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}\to \overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$ algebra izomofizmushoz létezik egyetlen $\sigma:S\to T$ homeomorfizmus, melyre $\sigma^{\sharp}=\pi$ teljesül, ahol $\sigma^{\sharp}:\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}\to \overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$, $\varphi\mapsto\varphi\circ\sigma$. Ha $T$ és $S$ lokálisan kompakt topologikus tér, akkor a $\overline{C_{0}(T,\mathbb{C})}$, $\overline{C_{0}(S,\mathbb{C})}$ C*-algebrák pontosan akkor izomorfak, ha a $T$, $S$ terek homeomorfak. Legyen $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mathcal{A}$ normális elem és jelölje $B$ az $1,a,a^{*}$ elemek által generált C*-részalgebrát. Ekkor létezik egyetlen $C_{a}:C(\mathrm{Sp}(a),\mathbb{C})\to\mathcal{A}$ egységelemtartó *-algebra morfizmus a $C_{a}(\mathrm{id}_{\mathrm{Sp}(a)})=a$ tulajdonsággal, továbbá $C_{a}$ izometria, valamint $\mathrm{Ran}(C_{a})=B$ teljesül. Ha $\mathcal{A}$ egységelemes C*-algebra, $a\in\mathcal{A}$ normális elem és $\varphi\in C(\mathrm{Sp}(a),\mathbb{C})$, akkor $\mathrm{Sp}\varphi(a)=\varphi(\mathrm{Sp}(a))$. |
Szabadon letölthető anyagok a témában: