Villamosmérnök Matematika A1 részletes tematikája

Alapfogalmak

Matematikai kijelentések szerkezete, alapvető matematikai objektumok: halmazok, relációk, függvények, műveletek, ezek legfontosabb osztályai és tulajdonságaik. Halmaz függvény szerinti képe.

Izomorfizmus. Test. Rendezés. Intervallum fogalma és fajtái, korlátosság, supremum, infimum. Függvények monotonitása és korlátossága. Inverz. Függvények grafikonja.

Halmazalgebra

Definíció, halmazok azonossága, üres halmaz. Műveletek, rendezés. Legfontosabb muveleti azonosságok. Halmazalgebrai állítások bizonyítása a halmazok azonosságának definíciója segitségével egyrészről, algebrai módszerekkel másrészről.

Vektoralgebra

Koordinátamentes tárgyalás

Definíció: állás, irány, nagyság. Abszolút érték, műveletek: skalárral való szorzás, skalárszorzat, vektoriális szorzat, vegyes szorzat.Alapfogalmak és elemi tételek: vetület, terület, térfogat. Merőlegesség, párhuzamosság, egysíkuság, zárt vektorsokszög. Abszolút érték és skalár szorzat, háromszög-egyenlőtlenség. Kifejtési tétel, vegyes szorzat tulajdonságai. Speciális alakzatok - sík, egyenes, gömb - egyenletei. Alkalmazások (pl. sinus- és cosinus-tétel), példák.

Koordinátás tárgyalás

Definíció, muveletek. Speciális alakzatok - sík, egyenes, gömb - egyenletei. Elemi koordinátageometriai feladatok: térelemek metszése (döfése), vetítése, tükrözése. Példák.

A valós számok teste

Rendezett test. Számkörbővítés: ℕ→ℤ→ℚ→ℝ az egyetlen felső határ tulajdonságú rendezett test. Következmények: ℝ archimédeszi, ℚ sűrű ℝ-ben és fennáll a Cantor axióma.

Komplex algebra

Számkörbővítés, komplex számok definíciója, komplex aritmetika. Alapfogalmak: valós- és képzetes rész, konjugált, abszolút érték; ezekre vonatkozó elemi ismeretek. Trigonometrikus alak, műveletek trigonometrikus alakban, gyökvonás. Példák.

Számsorozatok

Definíció, megadás. Alapfogalmak: konvergencia, divergencia, korlátosság, monotonitás, részsorozat, sűrűsödési érték, végtelenhez való divergencia. Példák, elemi tételek. Bolzano-Weierstrass tétel és bizonyítása. Nevezetes sorozatok. Műveletek hatása a konvergenciára és divergenciára. Határértékszámítás. Hányados-kritérium. Cauchy kritérium.

Valós egyváltozós függvények alapvető tulajdonságai

Globális tulajdonságok: párosság/páratlanság, periodicitás, korlátosság (sup, inf), monotonitás, konvexitás/konkávitás. Elemi függvények és alapvető tulajdonságaik: polinomok, racionális törtfüggvények, algebrai függvények, transzcendens függvények : trigonometrikus függvények és inverzeik, exponenciális függvények és inverzeik, hiperbolikus függvények és inverzeik.

Folytonosság, függvény határértéke

Definíciók, példák. Végtelen és végtelenben vett határérték. Szakadási helyek osztályozása. Elemi tételek. Átviteli elv. Nevezetes határértékek, határértékszámítás. Példák. Egyenletes folytonosság. Folytonos függvények viselkedése zárt korlátos intervallumon: a Weierstrass-, Bolzano- és Heine-tétel. A Weierstrass-tétel bizonyítása.

Differenciálszámítás

Definíció, szemléletes jelentés, példák. Többszörös derivált. Elemi tételek. Differenciálási szabályok, láncszabály, elemi függvények deriváltjai. Pontosan n-szer folytonosan ill. nem folytonosan deriválható függvények konstrukciója. A derivált szakadásai: a Darboux-tétel és bizonyítása. A differenciálszámítás alkalmazásai:

Rolle-, Lagrange-, Cauchy-középértéktételek és következményeik. L’Hospital szabály, alkalmazásai és alkalmazásának korlátai. Függvényvizsgálat: monoton szakaszok, szélsőérték, konvexitás/konkávitás, inflexiós pont. Szélsőértékfeladatok. A derivált geometriai jelentése, érintőszámítás.

Integrálszámítás

Határozott integrál

Felosztás és annak finomítása. Alsó-, felső-, oszcillációs-, integrál közelítő összeg. Alsó-, felső integrál. Határozott integrál. Példák. Főtétel: f integrálható iff az oszcillációs összegek infimuma 0. Integrál mint az integrálközelítő összegek határértéke. Integrálhatóság elégséges feltételei. Integrál tulajdonságai és az integrál középértéktétel.

Primitív függvény

Definíció és példák. Primitív függvény keresés: Alapintegrálok. Integrál lineáris homogén operáció. Helyettesítéses integrálás. Trigonometrikus függvények szorzatai. Teljes négyzetté való kiegészítés. Parciális integrálás. Racionális törtfüggvények.

Integrálfüggvény

Integrálfüggvény mint primitív függvény. Newton-Leibniz tétel. Integrálhatóság és primitív függvény létezésének kapcsolata. Transzcendens függvények definiálása integrálfüggvénnyel.


This document was translated from LATEX by HEVEA.