A PhD téziseim
Az értekezésben az élet számos területén előforduló, véletlen folyamatok által befolyásolt növekedési, lerakódási, vagy áramlástani jelenségek modellezésére konstruált modelleket vizsgálunk. E modellek fő jellemzője, hogy sok véletlenül viselkedő, de egymással kölcsönható objektum együttes fejlődését írják le. Mi e modellek egy családját egységes keretbe foglalva tárgyaljuk. Ez a család több, a kölcsönható részecske-rendszerek témaköréből jól ismert modellt tartalmaz, így például az egyszerű kizárásos folyamatot, illetve a zero range folyamat bizonyos fajtáit. Ez utóbbi kismértékű általánosításaként a dolgozatban egy új modell, a kőműves modell is bemutatásra kerül.
Az értekezésben a bevezetőben tárgyalt kitekintés és a modellek definiálása után tárgyaljuk azok csatolását, azaz több modell közös véletlenek által vezérelt egyidejű fejlődését. Ennek során definiáljuk a modell által teremtett véletlen közegben mozgó másodosztályú részecskéket, melyek kulcsfontosságú szerepet játszanak a tézisben tárgyalt módszerekben. A tézis első részében utalunk modelljeink és bizonyos elsőrendű nemlineáris parciális differenciálegyenletek (ún. megmaradási törvények) kapcsolatára. Egy egyszerű érveléssel az új kőműves modellben is alátámasztjuk a differenciálegyenletek ún. lökéshullám megoldásainak és a másodosztályú részecskék kapcsolatát, mely a témához kapcsolódó egyéb munkákból már jól ismert jelenség. Erre alapozva egy bizonyos kőműves modellben olyan eloszlás-családot konstruálunk, amely pontosan megfelel a modellhez tartozó differenciálegyenlet egy lökéshullám-családjának. Mivel ezek az eloszlások kivételesen egyszerű alakúak, eddig - tudomásunk szerint - nem találtak lökéshullámnak megfelelő ennyire egyszerű eloszlást.
Az értekezés második részében a modellek fejlődésének fluktuációit vizsgáljuk. Martingálok használatával hamar eljutunk ahhoz a ponthoz, ahol a másodosztályú részecskét természetes módon tudjuk felhasználni, ehhez azonban szükségünk van azok mozgásának bizonyos tulajdonságaira. Mivel az eleve véletlen közegben mozgó, saját véletlenjétől is függő másodosztályú részecske viselkedése igen bonyolult, hosszú levezetés szól a nekünk fontos tulajdonságok bizonyításáról. Eközben a modellek csatolásának technikáit egy lépéssel tovább finomítjuk, hogy képessé váljunk a különböző modellek másodosztályú részecskéinek egymással való csatolására is.
PDF formátumban