Csordák és árak modellje: ugró részecskék vonzó kölcsönhatással
Balázs Márton előadásának absztraktja
Közös munka Rácz Miklós Zoltánnal és Tóth Bálinttal
2011. április 21. csütörtök 16:15
R-en ugráló véges sok, egymással versengő részecske modelljét fogom bemutatni. A rendszer modellezheti lehet pl. részvények árfolyamait, vagy a csordaszellemet. Adott konfiguráció mellett a részecskék tömegközéppontját, azaz pozícióinak átlagát tekintjük, és a modell időfejlődését egy folytonos idejű Markov ugró folyamat írja le, melynek szabályai:
- adott konfiguráció mellett a részecskék függetlenül ugranak;
- egy részecske ugrási rátája az ő tömegközépponthoz képesti relatív helyzetének függvénye;
- amikor egy részecske ugrik, az ugrás hossza egy mindentől független pozitív valószínűségi változó.
Az ugrási rátafüggvény olyan, hogy akik lemaradnak, azok nagyobb rátával ugranak, mint akik a tömegközéppont előtt vannak. A dinamika tehát próbálja a részecskéket egyben tartani.
A vizsgálat fő célja az volt, hogy hogyan viselkedik a modell, ahogy a részecskék száma végtelenhez tart. Először mutatok egy heurisztikát, mely a részecskék sűrűségére vonatkozó integro-differenciálegyenlethez vezet. Ennek bizonyos utazóhullám megoldásait is ismertetem, majd egy kis kitérő következik az extrémérték statisztikák világába. Végül pedig nagyvonalakban összefoglalom annak hidrodinamikai bizonyítását, hogy a rendszer eloszlása tényleg konvergál az integro-differenciálegyenlet megoldásához, ahogy a részecskeszám tart végtelenhez.
Balázs Márton, 2011.03.13