BME MATEMATIKA MESTERSZAK (MSc)
Elméleti
alapozó tárgyak tárgyleírásai
Az elméleti
alapozás keretében felsorolt tárgyak a BME Matematikus alapképzés (BSc)
tárgyai, amelyeket azoknak a mesterképzésben (MSc) résztvevő hallgatóinknak ajánlunk
fel, akik más felsőoktatási intézményben vagy nem matematikus szakon szerezték
BSc diplomájukat és ennek következtében matematikai elméleti alapképzésük
esetleg kiegészítésre szorul. A mesterképzés első két félévében összesen 20
kredit keret van biztosítva az esetleges hiányok pótlására. Ezzel módot adunk a különböző háttérrel és különböző
ismeretekkel (illetve, ismerethiánnyal) érkező hallgatóknak arra, hogy
kiválaszthassák a specifikus hiányaikat megfelelően pótló tárgyakat. E
választásban vezető oktatóink és a Matematikus Szakbizottság szervezett módon
aktív segítséget fognak nyújtani. Tipikus esetben saját és más magas színvonalú
egyetemi BSc képzést abszolváló
hallgatóknak nem (vagy csak minimális mértékben) kell „elméleti alapozás”
jellegű tárgyakat felvenniük. Az ilyen módon felszabaduló kredit-keretüket
választható szakmai tárgyakkal (a bő választékban kínált törzstárgyakkal)
töltik fel.
Jelölés: Az egyes tárgyak
leírásában megjelentetett e/g/l/t/k jelölés feloldása
e = előadások heti óraszáma,
g = gyakorlatok heti óraszáma,
l = laboratóriumi foglalkozások
heti óraszáma,
t = teljesítés módja = v(izsga)
vagy f(élévközi jegy),
k = kreditszám.
Elméleti alapozás: Algebra és
számelmélet blokk
Lineáris
algebra 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős:
Horváth Erzsébet
További
oktatók: Rónyai Lajos, Nagy Attila, Lukács Erzsébet
Valós és komplex számok, test és gyűrű
fogalma, polinomok, algebra alaptétele, interpoláció, többváltozós polinomok.
Mátrixok,
determináns, lineáris egyenletrendszerek.
Vektorterek,
bázis, dimenzió, koordinátázás. Direkt felbontás, faktortér, tenzorszorzat,
duális tér.
Lineáris
operátorok és transzformációk, báziscsere, skaláris és vektoriális szorzat.
Sajátérték, sajátvektor. Cayley-Hamilton-tétel. Polinommátrixok kanonikus
alakja. Jordan-féle normálalak, mátrixfüggvények.
Bilineáris
függvények és kvadratikus alakok. Sylvester tétele. Euklideszi terek.
Önadjungált, unitér, ortogonális, szimmetrikus, normális transzformációk.
Főtengelytétel.
Felbontási
tételek.
Irodalom:
D.K.
Fagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok, Műszaki Könyvkiadó, 1973.
Freud
Róbert, Lineáris algebra, ELTE Eötvös Kiadó, 1996.
Fried
Ervin, Algebra I. Elemi és lineáris algebra, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
Horváth
Erzsébet, Linearis Algebra, Műegyetemi Kiadó, 1995. 45021 sz. jegyzet
Számelmélet 2/2/0/v/5
Tárgyfelelős:
Rónyai Lajos
További
oktatók: Wettl Ferenc, Lukács Erzsébet
Oszthatóság, euklideszi algoritmus, a számelmélet alaptétele.
Kongruenciák, lineáris kongruenciák és lineáris diofantikus egyenletek, Euler-,
Fermat- és Wilson-tétel, műveletek maradékosztályokkal. Magasabb fokú
kongruenciák, primitív gyök, diszkrét logaritmus, hatványmaradék. Chevalley-tétel és alkalmazásai. Legendre-szimbólum,
kvadratikus reciprocitás, Jacobi-szimbólum. Prímszámok eloszlása, Fermat- és
Mersenne-prímek. Prímtesztek. Számelméleti függvények: Euler-függvény,
Möbius-függvény, Möbius-féle inverziós formula. Diofantikus egyenletek,
pitagoraszi számhármasok. Gauss-egészek, számok négyzetösszegként való
elő-állításai. A számelmélet alkalmazásai, RSA algoritmus.
Irodalom:
Freud R., Gyarmati E.: Számelmélet.
Tankönyvkiadó, 2000.
I. Niven, H. S. Zuckerman: Bevezetés a számelméletbe. Műszaki
Könyvkiadó, 1978.
I. M. Vinogradov: A számelmélet alapjai. Tankönyvkiadó, 1968.
Algebra 1. 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős:
Lukács Erzsébet
További
oktatók: Rónyai
Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila
Csoport bevezetése, példák. Részcsoport, homomorfizmus, izomorfizmus,
automorfizmus, faktorcsoport. Ezen fogalmak megfelelői gyűrűkre.
Homomorfizmustétel, izomorfizmustételek.
Részcsoport mellékosztályai, index, Lagrange tétele. Normálosztó, normállánc, Jordan-Hölder-tétel.
Kommutátor-részcsoport, centrum, konjugáltosztályok,
osztályegyenlet.
p-csoportok, feloldható csoportok, nilpotens csoportok.
Permutációcsoportok alapfogalmai, csoporthatás. Az alternáló
csoportok egyszerűsége.
Direkt szorzat és szemidirekt szorzat. Véges Abel-csoportok
alaptétele.
Sylow-tételek és alkalmazásai. Kis rendű csoportok leírása.
Szabad csoportok, definiáló relációkkal megadott csoportok. Dyck
tétele.
Test feletti polinomok gyűrűje. F[x]
ideáljai, maximális ideáljai, faktorai. Z ideáljai és faktorai.
Bevezetés a testelméletbe. Testbővítések, felbontási test. Véges
testek. Wedderburn tétele.
Irodalom:
B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.,
Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983.
Fuchs László, Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.
Fried Ervin, Algebra II., Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002
Kiss Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007
B. Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.,
Absztrakt algebrai feladatok, JATEPress, 1983.
Algebra
2 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős:
Lukács Erzsébet
További
oktatók: Rónyai Lajos, Horváth Erzsébet, Nagy Attila
Testbővítések,
Galois-bővítés, Galois-csoport. Galois-elmélet főtétele. Polinomegyenlet
gyökökkel való megoldhatósága, geometriai szerkeszthetőség.
Nemkommutatív
gyűrűk, ideálok és egyoldali ideálok, test feletti mátrixgyűrű. Ferdetest.
Integritási
tartományok, egyértelmű faktorizációs tartományok, Euklideszi- és
főideáltartományok. Gauss-lemma. Irreducibilis polinomok egyértelmű
faktorizációs tartományok és hányadostestük felett. Körosztási polinom. Noether-gyűrű,
Hilbert bázis tétele. Féligegyszerű Artin-gyűrűk, Wedderburn–Artin-tétel.
Modulusok,
teljes reducibilitás. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Szabad, projektív és
injektív modulusok. Egzakt sorozatok. Kategóriák. Kovariáns és kontravariáns
funktorok. Hom és tenzorszorzás funktorok. Funktorok természetes
transzformációja, kategóriák ekvivalenciája.
Hálók,
modularitás, disztributivitás. Véges dimenziós algebrák R felett, Frobenius tétele. Lie-algebrák.
Irodalom:
B.
Szendrei M., Czédli G., Szendrei Á.: Absztrakt
algebrai feladatok, JATEPress, 1983
Fuchs
László: Algebra, Tankönyvkiadó, 1974.
Fried
Ervin: Algebra II, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002
Kiss
Emil, Bevezetés az algebrába, Typotex, 2007
Elméleti alapozás: Analízis blokk
Analízis 1 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Horváth Miklós
További oktatók: Matolcsi Máté, G.
Horváth Ákosné, Járai Antal
Valós számsorozatok konvergenciája,
nagyságrendek. Cantor és Dedekind tulajdonság. Bolzano-Weierstrass kiválasztási
tétel. Cauchy konvergencia kritérium.
Valós számsorok. Geometriai sor.
Konvergencia kritériumok. Abszolút és feltételes konvergencia.
Elemi függvények folytonossága és
differenciálhatósága. Egyváltozós valós, folytonos függvények tulajdonságai.
Egyváltozós valós függvények differenciálhatósága, nevezetes határértékek,
középérték tételek, függvényvizsgálat, hiperbolikus függvények és inverzeik,
lokális tulajdonságok.
Határozott és határozatlan integrálok,
az integrálszámítás technikája, alkalmazások. Impropius integrálok.
Valós és komplex hatványsorok
konvergencia tartománya. Valós hatványsorok összegfüggvényének határértéke,
integrálja, deriváltja. Elemi függvények Taylor sorai. Alkalmazások.
Irodalom:
Leindler László, Analízis, Polygon,
2001.
Császár Ákos, Analízis I.
Analízis 2 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Horváth Miklós
További oktatók: Petz Dénes, Matolcsi Máté, G. Horváth
Ákosné, Járai Antal
Függvénysorozatok pontonkénti és
egyenletes konvergenciája. Folytonos függvények tere, uniform norma, teljesség.
Egyenletesen konvergens függvénysorozatok határfüggvényének folytonossága,
differenciálhatósága, integrálhatósága.
Függvénysor pontonkénti és egyenletes
konvergenciája, Cauchy kritérium, Weierstrass kritérium. Hatványsor tulajdonságai.
Taylor polinom. Lagrange-féle maradéktag. Feltételek egy függvény és Taylor
sorának azonosságára. Elemi függvények megegyeznek a Taylor soraikkal.
Binomiális sor. Trigonometrikus sor. Szakaszonként folytonos függvények Fourier
sora, egyenletes és pontonkénti konvergencia.
Metrikus és Euklideszi tér. A tér
teljessége, lokális kompaktsága, Borel tétel.
Többváltozós függvények határértéke,
folytonossága. Parciális deriváltak, totális differenciálhatóság, derivált
mátrix. Láncszabály. Iránymenti derivált. Implicit- és inverzfüggvény-tétel.
Szélsőérték-számítás.
Jordan mérték. Kettős és hármas
integrál. Integrálok transzformációja.
Vonalintegrál, potenciálelmélet,
felületi integrál.
Komplex függvények folytonossága,
regularitása. Cauchy-Riemann parciális differenciálegyenletek, harmonikus
függvények. Elemi függvények regularitása.
Irodalom:
Leindler László, Analízis, Polygon,
2001.
Császár Ákos, Analízis I.
Járai Antal, Modern alkalmazott
analízis, Typotex, 2007.
Analízis 3 2/2/0/v/5
Tárgyfelelős: Petz Dénes
További oktatók: Horváth Miklós,
Matolcsi Máté, Járai Antal
Komplex függvények integrálja.
Cauchy-Goursat alaptétele körintegrálra és annak következményei. Reguláris
komplex függvények és deriváltjaik integrálelőállításai. (Cauchy
integrálformulák). Laurent sor. Izolált szingularitások osztályozása.
Residuum-tétel, komplex integrálok meghatározása. Rouché tétel, argumentum elv.
Banach fixpont tétel. Implicit
függvénytétel.
Mérhető halmazok, mérték. (Külső mérték
kiterjesztése teljes mértékké.) Lebesgue mérték a számegyenesen és a síkon.
Lebesgue nem mérhető halmaz létezése. Lebesgue–Stieltjes mérték. Mérhető
függvények (valós és metrikus térbeli értékű). Luzin, Jegorov, Riesz
approximációs és konvergencia tételei. Integrál. Fatou lemma. Beppo–Levi tétel.
Lebesgue tétel, az integrál szigma-additivitása, abszolút folytonossága.
Integrálok kiszámítása. Fubini tétele. Newton–Leibniz formula. Parciális
integrálás. Radon-Nikodym tétel, integrálok transzformációja.
Irodalom:
Járai Antal: Mérték és integrál, Nemzeti
Tankönyvkiadó, Budapest, 2002
H.A. Priestly:
Introduction to complex analysis, Oxford Univ. Press.
Analízis
4 1/1/0/f/2
Tárgyfelelős:
Kroó András
További oktatók: Horváth Miklós,
Matolcsi Máté:
Klasszikus
algebrai és trigonometrikus ortogonális sorok euklideszi terekben.
Ortogonális
sorfejtés normált terekben, konvergencia és divergencia különböző normákban.
Polinomapproximáció
véges és végtelen intervallumon.
Szummáció,
Lebesgue-függvény, szaturációs tételek.
Gyorsan
növő polinomok és kapcsolatuk a potenciálelmélettel.
Interpolációs
eljárások, optimális alappontrendszerek.
Spline-ok.
Bevezetés
a waveletekbe.
Irodalom:
Sz-Nagy
Béla: Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó 1975
G.G. Lorentz, M.V. Golitschek and Y. Makorov: Constructive
Approximation, Springer, 1966
Differenciálegyenletek 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Moson Péter
További oktatók: Bálint Péter, Tóth
János
Közönséges differenciálegyenletek:
Explicit módon megoldható egyenlettípusok, egzakt és lineáris egyenletek. A kezdetiérték-probléma
korrekt kitűzöttsége, egzisztencia, unicitás, folytonos függés a
kezdeti értékektől. Közelítő megoldási módszerek. Lineáris egyenletrendszerek,
variációs rendszer. A stabilitáselmélet elemei, stabilitás, aszimptotikus
stabilitás, Ljapunov-függvények, stabilitás a lineáris közelítés alapján.
Síkbeli autonóm egyenletek fázisportréi. Periodikus megoldások. A mechanika
Hamilton-egyenletei. Megmaradási tételek.
Elemi parciális egyenletek: Elsőrendű
egyenletek, kapcsolat közönséges egyenletekkel, karakterisztikák módszere.
Véges húr transzverzális rezgései: D'Alambert-formula, Fourier-módszer.
Hővezetési egyenlet: Fourier-módszer, diszkretizáció. Maximum-elv.
Irodalom:
Simon Péter, Tóth János:
Differenciálegyenletek. Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex,
Budapest, 2005
Parciális
differenciálegyenletek 1
2/2/0/v/6
Tárgyfelelős:
Garay Barnabás
További
oktatók: Fritz József
Laplace–Poisson
egyenlet Dirichlet peremfeltétellel. Klasszikus megoldások: unicitás és
folytonos függés, maximum-elv, integrálreprezentációk, példa klasszikus
megoldás nemlétezésére. Általánosított/gyenge megoldások: Szoboljev terek,
variációs elv, korrekt kitűzöttség, végeselem módszer. Kapcsolat a
funkcionálanalízissel: a változók szétválasztása módszer jogosultsága.
Közönséges differenciálegyenletek peremérték-problémái, variációszámítás.
Elliptikus, parabolikus, hiperbolikus egyenletek: összehasonlítás.
Irodalom:
Jürgen
Jost: Partial Differential Equations, Springer, Berlin, 2002
Funkcionálanalízis 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős:
Petz Dénes
További
oktatók: Horváth Miklós, Nagy Béla, Matolcsi Máté
Lineáris
terek (lineáris függetlenség és összefüggőség, lineáris leképezések, algebrai
duális, lineáris leképezések mátrixa). Lineáris terek tenzorszorzata
(szimmetrikus és antiszimmetrikus tenzorszorzat, bázisok, determináns).
Normált
terek (példák, Hölder- és Minkowski-egyenlőtlenségek, lineáris leképezések folytonossága
és korlátossága, operátor normája). Banach-terek (példák, normált tér teljes
burka, abszolút konvergens sorok konvergenciája és átrendezhetősége, az exponenciális függvény,
Neumann-sor).
Nevezetes
tételek Banach-terekben (nyílt leképezés tétele, egyenletes korlátosság tétele,
alkalmazás Fourier-sorokra, zárt gráf tétel)
Duális
tér (
terek duálisa, Hahn–Banach-tétel, a folytonos függvények
terének duálisa). Hilbert-tér (bázis szerinti kifejtés, példák, Riesz-lemma,
projekció tétel, Riesz-féle reprezentációs
tétel). Speciális függvények (Hermite-, és Legendre-polinomok,
sorfejtések). Hilbert-terek és lineáris operátorok tenzorszorzata.
Az
adjungált (korlátos operátor adjungáltja, önadjungált operátorok, unitér
operátorok és projekciók, példák).
Topológiák
(gyenge topológia a Hilbert-téren, operátorok pontonkénti konvergenciája és
pontonkénti gyenge konvergenciája, önadjungált operátorok monoton sorozata,
unitérek topologikus csoportja). A Haar-mérték lokálisan kompakt topologikus
csoportokon.
Korlátos
operátor spektruma (a spektrum osztályozása, spektrál sugár, rezolvens).
Kompakt
operátorok (a kompakt operátorok ideálja, Hilbert–Schmidt-féle
integráloperátor, Green-függvény, Riesz–Schauder tétel).
A
Fourier-transzformáció (az L1-téren, kiterjesztés az L2-tér unitér operátorává,
spektruma, a Fourier-transzformált differenciálhatósága, a Schwartz-tér és
topológiája, duálisa, disztribúciók). Nemkorlátos operátorok (az adjungált és
szimmetrikus operátorok, a Laplace-operátor, példák).
A
spektráltétel (projektormértékek, önadjungált operátorok folytonos
függvénykalkulusa, a spektráltétel korlátos önadjungált operátora, pont és folytonos spektrum a
spektrálmértékből).
Egy-paraméteres
unitér csoportok (kétfajta folytonosság, az eltolás csoport, Fourier-traszformált,
Stone-tétel).
Irodalom:
Petz
Dénes: Lineáris analízis, Akadémiai Könyvkiadó, 2003
Numerikus módszerek 1 4/0/2/v/6
Tárgyfelelős: Horváth Miklós
További oktatók: Gyurkovics Éva
MATLAB numerikus szoftver használata. Hibaszámítás.
Lineáris egyenletrendszerek direkt es iteratív megoldása: Gauss elimináció,
Gauss transzformáció. Mátrixok faktorizációi. Lineáris egyenletrendszerek
kondicionáltsága. Jacobi-, Seidel-, SOR iteráció; az iteráció konvergenciája,
hibabecslése.
Optimalizációs típusú eljárások lineáris
egyenletrendszerek megoldására. Sajátértékek becslése.
Hatványmódszer mátrixok
sajátérték-sajátvektor feladatára.
Inverz hatvány módszer. Mátrixok speciális alakra való transzformálása. Jacobi módszer sajátértékek
és sajátvektorok meghatározására. QR
módszer sajátértékek meghatározására.
Közönséges interpoláció polinommal. Hermite-féle interpoláció.
Interpoláció harmadfokú spline-nal. Közelítés legkisebb négyzetek értelemben
polinommal és trigonometrikus polinommal; trigonometrikus interpoláció; a gyors
Fourier-transzformáció alapja.
Numerikus integrálás: Newton–Cotes
formulák és alkalmazásuk. Gauss-típusú kvadratúrák. Nemlineáris
egyenletrendszerek megoldása. Polinomok gyökei. Közönséges
differenciálegyenletek kezdetiérték
feladatainak numerikus megoldása: egylépéses módszerek alapfogalmai;
Runge–Kutta formulák, egylépéses módszerek stabilitása, konvergenciája és
hibabecslése. Többlépéses módszerek.
Irodalom:
Stoyan G., Tako G.: Numerikus módszerek
I-II, Typotex, Budapest, 1993, 1995
J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to
Numerical Analysis, 1980
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri:
Numerical Mathematics, 2000
Elméleti alapozás: Diszkrét matematika és
számítástudomány blokk
Kombinatorika
és gráfelmélet 1 2/1/0/v/4
Tárgyfelelős:
Recski András
További
oktatók: Simonyi Gábor
Leszámlálások
(permutációk, variációk, kombinációk, binomiális tétel, binomiális
együtthatókra vonatkozó tételek).
Nevezetes leszámlálási módszerek, skatulya-elv, szita-módszer. Rekurziók és
generátorfüggvények. Fibonacci-számok, állandó együtthatós homogén lineáris
rekurziók általában, Catalan-számok.
Gráfelméleti
alapfogalmak, pont, él, fokszám, izomorfia, út, kör, összefüggőség. Fák,
Cayley-tétel, Prüfer-kód. Páros gráfok, jellemzésük. Párosítások,
König-Hall-Frobenius tétel. König tételei, Tutte tétele, Gallai tételei.
Hálózati
folyamok, Ford-Fulkerson tétel, Edmonds-Karp tétel. Kiterjesztések.
Menger-tételek. Magasabb összefüggőség, Dirac-tétel, Petersen-tétel.
Euler-körök és utak. Euler tétele. Hamilton-körök és utak. Hamilton-kör
létezésének szükséges feltétele.
Elégséges feltételek: Dirac és Ore tételei.
Irodalom:
Katona
- Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002
Kombinatorika
és gráfelmélet 2 2/1/0/f/3
Tárgyfelelős:
Recski András
További
oktatók:Simonyi Gábor
Síkbarajzolhatóság,
viszonya a gömb és a tórusz felszínére való rajzolhatósághoz, sztereografikus projekció,
Euler-formula. Kuratowski-tétel, Fáry-Wagner tétel Geometriai és absztrakt
dualitás, 2-izomorfia, Whitney tételei. Pont- és élszínezési alapfogalmak,
Mycielsky-konstrukció. Brooks-tétel.
Ötszíntétel. Vizing-tétel. Élszínezés kapcsolata teljes párosításokkal,
Petersen-tétel. Dinitz-probléma, lista-színezés, Galvin tétele. Perfekt gráfok.
Intervallumgráfok. Perfekt gráf tétel.
Ramsey-tétel, Erdős-Szekeres tétel, Erdős-féle alsó becslés, pár szó a valószínűségi módszerről. Turán-tétel. Erdős-Stone tétel,
Erdős-Simonovits tétel. Hipergráfok. Erdős - Ko - Rado tétel, Sperner-tétel,
LYM-egyenlőtlenség. De Bruijn - Erdős tétel. Véges síkok, konstrukciójuk véges
testből, differencia-halmazból. Bruck - Ryser tétel.
Irodalom:
Katona
- Recski - Szabó, A számítástudomány alapjai, Typotex, Budapest, 2002
Algoritmuselmélet 2/2/0/f/4
Tárgyfelelős:
Friedl Katalin
További
oktatók: Ivanyos Gábor, Rónyai Lajos
Kereső
algoritmusok. Alapvető adatszerkezetek:
keresőfa, kiegyensúlyozott keresőfa (AVL-fa), B-fa, Hash-tábla, kupac. Rendező
algoritmusok: buborék rendezés, beszúrásos rendezés, összefésülés, kupacos
rendezés, gyorsrendezés, ládarendezés, radix; alsó becslés az összehasonlító
rendezéseknél a lépésszámra.
Alapvető
gráfalgoritmusok: mélységi, szélességi bejárás és alkalmazásaik (összefüggő és
erősen összefüggő komponensek meghatározása, maximális párosítás páros
gráfokban); legrövidebb utak keresése (Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd
algoritmusa); minimális költségű feszítőfa keresése (Prim módszere, Kruskal
algoritmusa unió-holvan adatszerkezettel).
Általános
algoritmustervezési módszerek (elágazás és korlátozás, dinamikus programozás).
Közelítő
algoritmusok. A bonyolultságelmélet elemei: NP, NP-teljesség.
Irodalom:
Rónyai
Lajos, Ivanyos Gábor, Szabó Réka: Algoritmusok, Typotex, Budapest
Feladatgyűjtemény:
a tanszéki honlapról elérhető
Kriptográfia
és kódelmélet 3/0/0/v/3
Tárgyfelelős:
Rónyai Lajos
További oktatók: Wettl Ferenc, Ivanyos Gábor
Klasszikus
kriptográfia elemei. A modern kriptográfia alapjai: a bonyolultságelmélet,
számelmélet, valószínűségszámítás kriptográfiában felhasznált fogalmainak rövid áttekintése.
Kiszámíthatóság
- egyirányú függvények (diszkrét logaritmus, RSA-függvény, Rabin négyzetre emelés
függvénye,
prím faktorizációval való kapcsolatuk). Álvéletlen generátorok, álvéletelen függvények. Nemfeltáró
bizonyítások, és létezésük NP-problémákra.
Kódolás
és hitelesítés módszerei (privát kulcsú rendszerek, szimmetrikus titkosítási
sémák, nyilvános kulcsú rendszerek: RSA-, Rabin-, hátizsák rendszerek,
digitális aláírás), kulcs csere
(Diffie-Hellman). Kriptográfiai protokollok: két résztvevős protokollok
(oblivious transzfer, bit rábízás, ...), több résztvevős protokollok,
titokmegosztás, elektronikus választás,
digitális pénz.
Alapvető
kommunikációs-és hibamodellek. A bináris szimmetrikus csatorna. Kódolás,
dekódolás, Hamming-távolság. A (blokk)kódok alapvető paraméterei. Ismétlés:
véges testek aritmetikájának rövid áttekintése, létezés, bázisok, primitív elemek, polinomok véges testek
felett, számolás véges testekben. Lineáris kódok, generátormátrix,
paritás-ellenőrző mátrix. Szindrómákon alapuló dekódolás. A Hamming-kód.
Ciklikus kódok, generátor-polinom, ellenőrző polinom. Ciklikus kódok és ideálok. BCH-kódok. Korlát hibajavító
képességükre. Berlekamp-Massey-algoritmus. Reed-Solomon- és Justensen-kódok. Az
MDS-korlát, optimális kódok. Golay-kódok, perfekt kódok. Korlátok a
kódparaméterekre: Varshamov-Gilbert, Delsarte, gömbkitöltési.
Reed-Muller-kódok. Kapcsolatuk a Boole-függvényekkel. Goppa-kódok, nem lineáris kódok, konvolúciós
kódok.
Irodalom:
R.
Lidl, H. Niederreiter: Introduction to finite fields and their applications.
Cambridge University Press, 1986.
Madhu
Sudan : Algorithmic Introduction to Coding Theory. elektronikus jegyzet, MIT
Buttyán
L. Vajda I. Kriptográfia és alkalmazásai. Typotex, 2004.
Informatika 2.
1/0/1/f/2
Tárgyfelelős:
Tóth János
További oktatók: Wettl Ferenc
A tárgy célja a komputer algebra programrendszerek megismerése
és azok programozásának elsajátítása. A félév végén a hallgatók egy néhány
oldalas tanulmányt írnak valamely maguk választotta témából, melynek
megoldásához komputer algebra rendszert használnak. Tematika: A komputer
algebra rendszerek nyelvi sajátosságai. A legismertebb pogramrendszerek (Maple
és a Mathematica) részletes ismertetése. A komputer algebra rendszerekben
megvalósított programozási paradigmák (szabály alapú, funkcionális, logikai
programozás) áttekintése.
Irodalom:
Molnárka Győző, Gergó Lajos, Wettl Ferenc, Horváth András,
Kallós Gábor: A Maple V és alkalmazásai. Springer-Verlag, 1996.
Szili László, Tóth János: Matematika és Mathematica. Eötvös
Kiadó. 1996.
Online Maple, Mathematica és GAP könyvek.
Informatika
4 0/0/4/f/4
Tárgyfelelős:
Pröhle Péter
További oktatók: Wettl Ferenc
ALCÍM: Egy nagyteljesítményű programozási rendszer
megismerése, és a szoftverfejlesztés alapjai
A CÉL egy, a természettudományos és nagy gyakorlati
problémák kezelésére gyakran használt nyelv (pl.: C++) megismerése, és
segítségével egy összetettebb feladat megoldása.
RÉSZLETES TEMATIKA:
A nyelv haladó szintű megismerése, konstruálás
orientált interfészek (flex, bison, XML parzerek, …), választás orientált
interfészek (portábilis GUI, C++ esetén pl.: wxWidgets, Qt, ...).
Nagy projektek és programok részekre bontása.
Programrészek kommunikációs felületei, interfészek, absztrakt osztályok,
szerializáció. Eseményvezérlet programozás. Grafikus és web-es felhasználói
felület, XML web-szolgáltatások.
Modell-view-kontroller architektúra. Integrált fejlesztő rendszerek
(pl.: GNU-Emacs, KDevelop, Eclipse).
Felhasználóbarát szoftverfejlesztés.
Szoftvertesztelés, szoftver minősége (regressziós teszt, fordítási figyelmeztetések,
típusosság, futási idejű memóriahasználat ellenőrzés, futási idejű
nyomkövetés). Modell alapú
szoftverfejlesztés (Petri háló, UML).
Irodalom:
Online dokumentációk nagy választékban és a három
klasszikus könyv:
Brian W. Kernighan, Dennis M. Ritchie: A C
programozási nyelv, Műszaki, 2004
Brian W. Kernighan, Rob Pike: A Unix operációs
rendszer, Műszaki, 1999
Stroustrup, Bjarne: A C++ programozási nyelv,
Budapest, Kiskapu, 2001
Elméleti
alapozás: Geometria blokk
Geometria 4/2/0/v/6
Tárgyfelelős:
G. Horváth Ákos
További oktatók: Molnár Emil
Az elemi euklideszi és
hiperbolikus sík- és térgeometria axiomatikus felépítésének vázlata. Modellek.
Az egybevágósági transzformációk osztályozása tükrözésekkel. Inverzió.
Vektorgeometria elemei, vektoriális és vegyes szorzat, elemi terület- és
térfogatmérés. Koordinátázás, az egybevágóságok analitikus kezelése. Térelemek
analitikus geometriája, homogén koordináták, kollineációk analitikus alakja.
Összefüggőség, homeomorfizmus, görbe, felület fogalma. Sokszögek és poliéderek.
Euler féle poliédertétel. Szabályos poliéderek, Cauchy poliédertétel. Gömbi
geometria és trigonometria. Az n-dimenziós szabályos poliéderek. Másodrendű
felületek, másodrendű görbék szintetikus és analitikus kezelése. Bezout tétele,
rend fogalma. Az ábrázoló geometria elemei, egyszerű poliéderek síkmetszete,
képsíktranszformáció, méretes alapszerkesztések. Egyképsíkos ábrázolások,
axonometriák, perspektívák. Centrális vetítés és projektív bővítés. Desargues
és Pappus-Pascal tétel. Pascal-Brianchon tétel. A projektív síkgeometria önálló
felépítése Gyakorlati tematika: Hamis
bizonyítások, részekre osztások síkban és térben, teljes indukció alkalmazása
geometriai feladatoknál. Egybevágósági transzformációk síkban és térben.
Komplex számok a geometriai feladatokban. Vektorgeometria elemei, osztóviszony,
súlypont, skaláris, vektoriális és vegyes szorzat. Egybevágósági
transzformációk leírása (ortogonális trafók). Térelemek analitikus geometriája.
Homogén koordinátázás és alkalmazásai. Másodrendű görbék és felületek -
koordinátarendszer elforgatása, eltolása, főtengelytranszformáció, példák.
Ábrázoló geometria - testek ábrázolása, síkmetszete, metrikus alapfeladatok -
perspektívikus ábrázolás - axonometria - projektív bővítés - a Pappus-Pascal,
Pascal-Brianchon és Desargues tételek alkalmazásai feladatokban. Projektív
geometria alaptételének alkalmazásai, fixelemek keresése - lencse leképezés.
Irodalom:
Hajós György: Bevezetés a
geometriába
Differenciálgeometria
1 2/1/0/f/3
Tárgyfelelős:
Molnár Emil
További oktatók: Szenes András
Görbék
differenciálgeometriája euklideszi térben: parametrizált görbék, ívhossz
szerinti paraméterezés, görbület, torzió, kísérő triéder, Frenet-formulák.
Görbületével és torziójával adott görbe meghatározása. Evolvens, evoluta.
Görbékre vonatkozó globális tételek (négy csúcspont tétele, izoperimetrikus
egyenlőtlenség). A görbeelmélet alaptétele. Felületek differenciálgeometriája:
reguláris felületek, paramétertranszformációk, első-, második alapmennyiségek,
felületek irányíthatósága, a felszín fogalma, Meusnier, Rodrigues tétele, a
Gauss leképezés, konform leképezések, Theorema Egregium, kompatibilitási
egyenletek, Bonnet tétele.
Irodalom:
B. Dubrovin, S. Novikov, A.
Fomenko: Modern Geometry, Springer
Differenciálgeometria
2. 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős:
Szenes András
További oktatók: Szabó Szilárd
A
topológia alapfogalmainak bevezetése, differenciáltopológia, differenciálható sokaságok,
érintő tér, sokaságok topológiája, Riemann metrika, geodetikusok, Gauss-Bonnet
tétel, görbületi tenzor, konstans görbületű terek, Lie csoportok, Morse elmélet
Irodalom:
B. Dubrovin, S. Novikov, A.
Fomenko: Modern Geometry, Springer
Elméleti alapozás: Operációkutatás
és gazdasági matematika blokk
Operációkutatás 2/2/0/f/4
Tárgyfelelős: Szántai Tamás
További oktatók: Hujter Mihály
Lineáris optimalizálás: Lineáris algebra, poliéderek, kúpok, egyenlet-
és egyenlőtlenségrendszerek. Az LP alapfeladata, példák (táplálási és termék
összetételi feladat). A szimplex módszer
(táblázat, algoritmus) részletei és használata.
A szimplex tábla transzformálása, kétfázisú szimplex módszer. Geometriai
szemléltetés, alkalmazások, numerikus példák.
Dualitás, dualitási tételek – kiegészítő eltérések tételei.
Játékelmélet, Lagrange-féle dualitás.
Szállitási feladat, hozzárendelési feladat. Szimplex a szállítási feladatra: megoldó
algoritmus.
Nemlineáris optimalizálás: Nemlineáris programozás, feltétel
nélküli és feltételes optimalizálás. Az
optimalitás első és másodrendű feltételei. Lagrange dualitás tétele feltételes
optimalizálási feladatra. Optimalizálás egy egyenes mentén. Legmélyebb
leszállás algoritmusa. A Newton módszer és változatai. SUMT módszerek:
feltételes optimalizálási algoritmusok. Kuhn–Tucker tétel. Konvex és nemkonvex
optimalizálás. Belső pontos algoritmusok
lineáris feltételű feladatokra. Egész értékű programozás, hátizsák-feladat,
Gomory metszősík algoritmusa.
Hálózati folyamok, Ford-Fulkerson, címkézési technika és
optimalizálás.
Szimuláció – véletlenszám generálás, statisztikai próbák.
Integrálás Monte-Carlo módszerekkel egyszerű függvényekre. Sztochasztikus
programozás: Sztochasztikus optimalizálás alapjai, konvexitás,
kvázikonvexitás. Sztochasztikus
optimalizálás: valószínűséggel korlátozott modellek. Logkonkávitás, megengedett
irányok módszere. A pótló függvény és
kétlépcsős feladatok.
Irodalom:
Deák I.: Bevezetés a sztochasztikus programozásba, Aula, 2003
Deák I.: Random number generators and simulation, Akadémiai
Kiadó, 1990
Hammersley, J.M., Handscomb, D.C.: Monte Carlo methods, Methuen,
1964
Luenberger, D.: Linear and nonlinear programming, Addison
Wesley, 1974
Prékopa A.: Lineáris programozás, Bolyai, 1968
Optimalizálási modellek 0/0/2/f/2
Tárgyfelelős: Szántai Tamás
További oktatók: Tóth Boglárka
Matematikai programozási feladatok, ezek
osztályozása. A számítógépes megoldás lépései. Modell leírási technikák, fájlformátumok,
modellezési nyelvek. Solverek. Az AMPL modellező nyelv.
Bevezetés a CPLEX solver hasznalatába. A megoldási
algoritmusok sajátosságai, kiválasztásuk.
Paraméterek beállításai. A megoldás értelmezése. A
Neos server használatának ismertetése.
Általános és speciális lineáris programozási,
egészértekű, nem lineáris és sztochasztikus modellek és megoldásuk.
Irodalom:
Prékopa András: Lineáris programozás, 2005
Wayne L. Winston: Operációkutatás, Módszerek és
alkalmazások, I-II. kötet, Aula, Budapest, 2003
Mokhtar S. Bazaraa and C.M. Shetty: Nonlinear
Programming, Theory and Algorithms, Wiley and Sons, New York, 1979
A. Prékopa: Stochastic Programming, Akadémia Kiadó,
Budapest, 1995
H.P. Williams: Model Building in Mathematical
Programming, Wiley and Sons, New York, 1985
http://www.ilog.com/products/cplex/
http://www-neos.mcs.anl.gov/neos/
Bevezetés a mikróökonómiába 2/0/0/f/2
Tárgyfelelős: Simonovits
András
További oktatók: Meyer Dietmar
A mikroökonómia a fogyasztó és a vállalat viselkedését
vizsgálja. Alapkérdései: Hogyan függ a fogyasztás az egyének jövedelmétől és a
piaci áraktól? Hogyan függ a termelés a költségektől? Hogyan függ az egyensúlyi
ár (amely mellett a kereslet és a kínálat egyensúlyban van) a piaci
szerkezettől (monopólium, oligopólium, szabad verseny)? A tárgy egyaránt
foglalkozik az elmélettel és a gyakorlattal. Megmutatja, hogyan használható a
differenciálszámítás és a nemlineáris programozás a mikroközgazdasági
elemzésben. Gyakorlati példákat
ismertet, amelyekből kiderül, hogy mi az árrugalmasság mértéke, hol húzódik a határ
az oligopólium és a szabadverseny között.
Irodalom:
Varian, H., Mikroökonómia középfokon, Közgazdsági és Jogi
Könyvkiadó, Budapest, 1992
Bevezetés a makróökonómiába 2/0/0/f/2
Tárgyfelelős:
Simonovits András
További oktatók: Meyer Dietmar
A makroökonómia a gazdaság egészét vizsgálja. Fő kérdései:
Mitől függ a gazdaság növekedési üteme? Hogyan függ össze az infláció és a
munkanélküliség rövid és hosszú távon? Miben különbözik egy zárt és egy nyitott
gazdaság? A tárgy egyaránt foglalkozik az elmélettel és a gyakorlattal.
Megmutatja, hogyan használhatók a statikus és dinamikus modellek a
makroközgazdasági elemzésben. Gyakorlati példákat hoz, amelyek hely és idő
függvényében megvilágítják a makroösszefüggéseket: mennyibe kerül az infláció,
mi az oka, hogy Ny-Európában a reálbérek nőnek, s a foglalkoztatottság stagnál,
míg az USÁ-ban fordítva.
Irodalom:
Hall, R. és
Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdsági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 1997
Közgazdasági és pénzügyi matematika 2/2/0/v/6
Tárgyfelelős: Simonovits András
További oktatók: Meyer
Dietmar
A közgazdaságtan a társadalom gazdasági folyamatait
elemzi. Egy bevezetésben célszerű a
részletek mellőzésével az egész közgazdaságtant áttekinteni. A közgazdaságtan
magva a mikroökonómia, amely a
fogyasztók és a vállalatok döntéseit adott gazdasági keretek mellett vizsgálja.
Bemutatja, hogy a profitmaximalizáló vállalatok és a hasznosságmaximalizáló
egyének összjátékából hogyan alakul ki a piaci egyensúly, amely bizonyos
értelemben optimális. Vannak olyan
gazdasági kérdések (például a gazdasági növekedés, az infláció vagy a
munkanélküliség), amelyeket nem lehet egyszerűen mikroökonómiai alapon
levezetni. Ezek vizsgálatával a
makroökonómia foglalkozik. A hagyományos közgazdaságtan elsősorban a tökéletes
verseny, vagy a tökéletes monopólium esetét vizsgálja, vannak azonban fontos
köztes esetek, amikor egynél több szereplő hat egymásra, de olyan kevesen
vannak, hogy nem lehet elhanyagolni egymásra hatásukat: játékelmélet. A gazdasági szereplők tényleges viselkedését
matematikai statisztika eszközeivel is vizsgálhatjuk: ökönometria. Bár a közgazdaságtan alapmodelljei általában
statikusak, egyre inkább előtérbe kerülnek a dinamikus elemzések is (pl. a már említett gazdasági növekedés
mellett a ciklusoké). Végül nem lehet figyelmen kívül hagyni a pénzügyi matematikát sem, amely a nagy
matematikai tudást igénylő sztochasztikus folyamatokra épül.
Irodalom:
Varian,
H.: Mikroökonómia középfokon,
Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest, 2001 Hall, R. és Taylor, J.: Makroökonómia, Közgazdasági és Jogi
Könyvkiadó, Budapest, 1997
Biztosításmatematika
1 2/0/0/f/3
Tárgyfelelős: Barabás Béla
További
oktatók:
Biztosítási
alaptípusok: Élet, nem élet ág különbözősége.
Életbiztosítási matematikai ismeretek
a) Biztosítási alaptípusok –
rizikó, elérési, vegyes, életjáradék, FIB (Family Income Benefit) – két és több
életre szóló biztosítások – munkáltatói biztosítások; csoportos biztosítások
b) Halandósági és morbiditási
adatok – nyers halandósági és morbiditási adatok, kockázati időtartam
(exposed-to-risk) – kiegyenlítési módszerek – halandósági tábla, függvények –
szelekciós, aggregált táblák – extra kockázatok – előrejelzés – kommutációs
számok, várható élettartam; korfa – többállapotú modellek, többszörös kilépési
táblák
c) Díjkalkuláció – technikai
kamat, diszkonttényező; ekvivalencia-elv; maradékjogok; nettó díj –
költségterv; alfa-, béta-, gamma költségek; bruttó díj – éves, féléves, havi
díjfizetés; egyszeri díj; befektetési hozam – díjkalkuláció Cash Flow alapon
d) Tartalékszámítás – nettó
díjtartalék – prospektív, retrospektív szemlélet – egyéni és csoportos
díjtartalék; maradékjogok; a díjtartalék nem biztosítási évfordulón; kamat-,
halandósági, költség- és egyéb nyereség; nyereségrészesedési módszerek;
utókalkuláció; közelítő számítások – bruttó díjtartalék; költségfedezet,
Zillmer-módszer – szolvencia
e) A biztosító kockázatai és
kezelésük – élet-, költség-, befektetési kockázat; haláleseti terhelés, új
üzleti teher – infláció – profit-testing
f) Üzletterv
Irodalom:
H. U. Gerber: Life Insurance,
Springer1997
Banyár J.: Életbiztosítás,
Aula 2003
Krekó B.: Biztosítási
matematika, Aula 1993
Elméleti alapozás: Sztochasztika
blokk
Valószínűségszámítás 1 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős: Tóth Bálint
További oktatók: Balázs Márton, Szász
Domokos
Alapfogalmak. Eseménytér, események
algebrája, valószínűség. Kombinatorikus megfontolások, szitaformula,
urna-modellek. Geometriai példák (Buffon, Bertrand). Valószínűségi mező általános
fogalma. Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel,
feltételes valószínűségek szorzási
szabálya. Sztochasztikus függetlenség. Diszkrét valószínűségi változók:
indikátor, binomiális, hipergeometrikus, Poisson, geometriai, negatív
binomiális. Poisson-approximáció. Geometriai eloszlás örökifjúsága.
Valószínűség változó általános fogalma. Eloszlás-függvények, abszolút
folytonosság, sűrűség-függvények. Eloszlások transzformációja. Nevezetes
eloszlások: egyenletes, exponenciális, normális, Cauchy, log-normális.
Eloszlások numerikus jellemzői: várható érték, szórásnégyzet, medián,
kvantilisek, momentumok. Várható érték és szórásnégyzet néhány kombinatorikai
alkalmazása. Steiner-tétel. Együttes eloszlás, peremeloszlások, feltételes eloszlás,
feltételes sűrűség-függvény. Várható
érték vektor, kovariancia mátrix. Schwarz-egyenlőtlenség. Több dimenziós
normális eloszlás. Bernoulli nagy számok törvénye. Markov- és
Csebisev-egyenlőtlenség. Nagy számok gyenge törvénye. Alkalmazás: Weierstrass approximációs
tétele. A normális fluktuációk nagyságrendje. Stirling-formula. De
Moivre-Laplace-tétel, alkalmazások.
Irodalom:
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás,
Tankönyvkiadó, Bp. 1972
William Feller: Bevezetés a
valószínűségszámításba, Műszaki Könyvkiadó, Bp.
Sheldon Ross: A first course
of probability.
Valószínűségszámítás 2 1/1/0/f/2
Tárgyfelelős: Tóth Bálint
További oktatók: Balázs Márton, Szász
Domokos
A konvolúció. Nevezetes eloszlások
konvolúciói. A generátor függvény. Konvolúció, keverék eloszlás, véletlen
tagszámú összeg generátor függvénye. Alkalmazások: elágazó folyamatok elemzése,
bolyongások visszatérési és elérési ideje.
1d bolyongás rekurrenciája, tranzienciája.
Nagy számok törvényei. Markov- és
Csebisev-egyenlőtlenség, nagy számok gyenge törvénye. Borel–Cantelli lemma.
Nagy számok erős törvénye, bizonyítás negyedik momentummal.
Karakterisztikus függvények elemei.
Rekonstrukciós és kontinuitási tétel (vázlatos bizonyítás). Centrális
határeloszlás-tétel bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.
Véges állapotterű Markov-láncok elemei.
Sztochasztikus mátrixok lineáris algebraja. Állapotok osztályozása.
Irreducibilis Markov-láncok stacionárius eloszlása, ergodikus viselkedése.
Irodalom:
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás,
Tankönyvkiadó, Bp. 1972
William Feller: Bevezetés a
valószínűségszámításba, Műszaki Könyvkiadó, Bp.
John Lamperti: Probability – the Mathematical Theory
Valószínűségszámítás
3 1/1/0/f/2
Tárgyfelelős:
Tóth Bálint
További oktatók: Balázs Márton, Szász
Domokos
Nagy
számok erős törvénye. Borel-Cantelli
lemma (ismétlés). Kolmogorov egyenlőtlenség. Kolmogorov-féle nagy számok erős
törvénye. Null-egy-törvény.
Karakterisztikus
függvény. Általanos tulajdonsagai (ismétlés). Momentumok, momentum-probléma.
Fourier-analízis elemei: Bochner tétel, rekonstrukciós-tétel.
Valószínűségi
eloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség és Helly (Prohorov) tétel. Eloszlások gyenge konvergenciája és a
karakterisztikus függvény pontonkénti konvergenciája: a kontinuitási
tétel. Centrális határeloszlás-tétel
bizonyítása karakterisztikus függvények módszerével.
Nagy
eltérések. Bernstein-egyenlőtlenség, Cramer-tétel.
Irodalom:
Rényi
Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp. 1972
William
Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba. Műszaki Könyvkiadó, Bp.
William
Feller: Introduction to Probability Theory and its Applications vol. 1 & 2.
Richard
Durrett: Probability Theory with Examples
John
Lamperti: Probability
Matematikai statisztika 2/2/0/v/4
Tárgyfelelős: Bolla Marianna
További oktatók: Sándor Csaba
Statisztikai alpfogalmak:
Alapstatisztikák, empirikus eloszlás- és sűrűségfüggvény.
Kolmogorov–Szmirnov tételkör. Elégségesség,
teljesség, exponenciális eloszláscsalád.
Mintavételi eljárások; másodlagos
mintavétel, szekvenciális módszer, mintavétel véges sokaságból, jackknife,
bootstrap.
Becsléselmélet: Pontbecslések,
torzítatlanság, hatásosság, konzisztencia, Cramér–Rao egyenlőtlenség,
Rao–Blackwell–Kolmogorov tétel. Becslési módszerek.
Általánosított likelihood-hányados
próba, cenzorált minta. Intervallumbecslések, konfidenciaintervallum
konstruálása.
Hipotézisvizsgálat: Próbák konstrukciója
a Neyman–Pearson tétel alapján. Paraméteres és nemparaméteres próbák.
Irodalom:
Bolla, M., Krámli, A.: Statisztikai
következtetések elmélete (II-IV. fejezet), Typotex, 2005
Statisztikai programcsomagok 1
0/0/2/f/2
Tárgyfelelős: Bolla Marianna
További oktatók: Sándor Csaba, Vetier András
Adatkezelés: az Excel nyújtotta statisztikai
lehetőségek. Az SPSS (Statistical Package for Social Sciences) programcsomag
táblázatkezelése, kapcsolata az Excellel.
Változók definiálása, transzformálása, grafika.
Programcsomagok nyújtotta statisztikai lehetőségek: elsősorban az SPSS
Statisztika menüágának ismertetése. Gyakoriságok, leíró statisztikák,
kontingenciatáblák. Csoportátlagok összehasonlítása, egyszempontos
varianciaanalízis. Általános lineáris modell: egy- és többszempontos
varianciaanalízis, többváltozós lineáris modell. Korreláció, regresszió.
Osztályozási módszerek: klaszteranalízis, diszkriminanciaanalízis.
Dimenziócsökkentés: faktoranalízis, korrespondanciaanalízis, többdimenziós
skálázás.
Nemparaméteres próbák. Túlélési analízis: Kaplan–Meier
becslések, Cox-féle regresszió, küszöbmodellek. S-PLUSZ programcsomag rövid
áttekintése.
Valódi adatrendszerek feldolgozásának szempontjai:
megfelelő módszer(ek) kiválasztása, output(ok) értelmezése, paraméterek
változtatása, ill. a módszerek kombinálása a felhasználó igényének megfelelően.
Irodalom:
Bolla, M., Krámli, A., Statisztikai következtetések
elmélete (VI-VIII. fejezet), Typotex, 2005
SPSS kézikönyv (a programcsomaggal együtt letölthető).
Sztochasztikus folyamatok 2/2/0/f/6
Tárgyfelelős: Tóth Bálint
További oktatók: Balázs Márton, Szász Domokos, Vetier
András
Alapfogalmak: véges dimenziós peremeloszlások;
Kolmogorov alaptétel; erősen és gyengén stacionárius, stacionárius növekmenyű,
független növekményű folyamatok.
Diszkrét állapotterű Markov-láncok: sztochaszikus
mátrixok lineáris algebrája; állapotok osztályozása.
Véges Markov-láncok: stacionárius mértékek és
ergodikus viselkedés. Reverzibilitás; bolyongások véges gráfokon. Urnamodellek.
Megszámlálható Markov-láncok: tranziencia,
null-rekurrencia, pozitív rekurrencia. Bolyongások Z^d-n: Polya-tétel.
Bolyongások megszámlálható gráfokon, elágazó folyamatok, diszkrét idejű
sorbanállási problémák és születési-halálozási folyamatok.
Bolyongások 
-en: tükrözési elv és a maximum határeloszlása;
differenciaegyenletek.
Folytonos idejű, diszkrét állapotterű
Markov-folyamatok: a Poisson folyamat; ugrási ráták, exponenciális órák.
Sztochasztikus félcsoport: Kolmogorov–Chapman egyenlet, infinitezimális
generátor.
Mértékelméleti kiegészítések: filtrációk, adaptált
folyamatok, természetes filtráció; feltételes valószínűség: létezés és
egyértelműség (Kolmogorov tétele), alaptulajdonságok.
Diszkrét idejű martingálok: szub/szuper/martingál,
megállási idő, megállított martingál. Opcionális megállási tétel;
Wald-azonosság, martingál konvergencia tétel; szubmatringál egyenlőtlenség;
Azuma–Hoffding egyenlőtlenség, alkalmazások.
A Brown mozgás: definiáló tulajdonságok;
kovarianciastruktúra; P. Levy konstrukciójának vázlata; alaptulajdonságok.
Néhány alkalmazás.
Irodalom:
Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Bp.
1972
William Feller: Bevezetés a valószínűségszámításba.
Műszaki Könyvkiadó, Bp.
William Feller: Introduction to Probability Theory and
its Applications vol. 1 & 2.
David Williams: Probability with Martingales.
Cambridge University Press, 1991
John Lamperti: Stochastic Processes. Springer
Elméleti alapozás: Biomatematika
blokk
Sztochasztikus modellek a
bioinformatikában 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Miklós István
További oktatók:
Statisztikai bevezető: A
likelihood függvény, ML becslés, Bayes statisztika, az EM algoritmus.
Sztochasztikus generatív nyelvtanok: Rejtett Markov-modellek, sztochasztikus
reguláris és környezetfüggetlen nyelvtanok. Algoritmusok nyelvtanokon:
Forward-backward, Viterbi, Inside-outside, CYK, Baum-Welch tréning, poszterior
valószínűségek számolása. Biológiai alkalmazások: mintázatfelismerés biológiai
szekvenciákban, protein másodlagos térszerkezet-predikció, RNS térszerkezet-predikció.
Szubsztitúciók időfolytonos
Markov-modellekkel történő leírása. Klasszikus nukleinsav és aminosav
szubsztitúciós modellek. Statisztikus szekvenciaillesztés: Beszúrás-törlés
(indel) modellek. Indel modellek, mint többszörös rejtett Markov-modellek.
Evolúciós fák. A Kingman
koaleszcens. A Markov-lánc Monte-Carlo (MCMC) módszer alapjai. Evolúciós fák
vizsgálata Bayesian MCMC-vel. Genomátrendeződések vizsgálata.
Irodalom:
Durbin-Eddy-Krogh-Mitchison:
Biological sequence analysis. Cambridge University Press. 1998
Lunter, G.A., Drummond, A.,
Miklós, I., & Hein, J.: Statistical aligment: recent progress, new
applications and challenges in: Nielsen (editor): Statistical Methods in
Molecular Evolution. Springer series in Statistics for Biology and Health.
Springer Verlag, 2005
Miklós István:
Bioinformatikai algoritmusok. In: Iványi Antal (szerkesztő): Informatikai
algoritmusok. Eötvös kiadó, 2004
Dinamikai modellek a
biológiában 2/0/0/v/3
Tárgyfelelős: Garay Barna
További oktatók:
Populációdinamika. Diszkrét
idejű modellek, diszkrét generációk, Leslie mátrix, korstruktúra. Folytonos
idejű modellek. Kétdimenziós modellek. Rosenzweig–MacArthur grafikus kritérium.
Táplálékláncok. Kompetitív és kooperatív rendszerek. n-dimenziós Lotka–Volterra
és Kolmogorov rendszerek, osztályozás. Ökológiai nichek átfedése, a versengő
kizárás elve. r-stratéga és K-stratéga versenye. Korstruktúrával rendelkező
populációk. Térben elhelyezkedő ökológiai rendszerek dinamikája, migráció.
Mintázatképződés és populációs hullámok. A stabilitás és komplexitás viszonya
ökológiai rendszerekben. Járványterjedés. SIR modellek és ezek gyakorlati
alkalmazásai, a járványküszöb meghatározása.
Járvány terjedése térben,
haladó hullám a járványmentes térben. A populációmentes védősáv becslése. Nemi
úton terjedő betegségek. Párképződés modellezése, a „házasodási függvény”. Nemi
betegségek terjedése több csoportra osztható populációban. Kortól függő
járványterjedési modellek. Evolúcióelmélet és populációgenetika. A szelekció, a
rekombináció és a mutáció modellezése. A Fisher egyenlet, a természetes
kiválasztás alaptétele. A Kimura-féle maximumelv, Shahshahani metrika.
Epistasis. A hiperciklus, a DNS és az RNS autokatalízisének kialakulása.
Játékelméleti modellek, az ivaros szaporodás kialakulása, altruizmus.
Irodalom:
Farkas M.: Dynamical models
in biology. Academic Press, 2001
Svirezhev, Logofet:
Stability of biological communitics, MIR, 1983
Murray: Mathematical
biology. Springer-Verlag, 1989