Beadható feladatok
Matematika B1
1.Keresse meg a komplex számsíkon azokat a számokat, melyekre teljesül, hogy,
a.) , b.)
, c.)
,
d.), e.)
, f.)
.
2. Mutasson példát olyan sorozatra (ha van ilyen), melynek
a.) pontosan három torlódási pontja van;
b.) nincs torlódási pontja, de van határértéke;
c.) pontosan egy torlódási pontja van, de nincs határértéke;
d.) és
a sorozat nem monoton.
3. Az sorozatról
tudjuk, hogy van torlódási pontja, de nincs határértéke. Igazak-e a következő
állítások?
a.) Lehet, hogy korlátos. b.)
Lehet, hogy
nem korlátos.
c.) Lehet, hogy monoton. d.)
Lehet, hogy
nem monoton.
Ha igaz az állítás, mutasson rá példát, ha nem igaz, indokoljon.
4. Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögbe írjunk egyenlősugarú köröket az ábrán látható módon. Szaporítsuk az „emeletek” számát (n), így mindig eggyel több körlapot helyezünk egy oldalra. Osszuk el a beírt körlapok területének összegét a háromszög területével. Kérdés, hogy az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, és ha igen, hová.
(n = 2)
5. Mutassa meg,
hogy az függvény
invertálható, ha
.
(Az inverzet megadni nem kell.)
c.) Mutassa meg, hogy az inverzfüggvény átmegy az (e;-1) ponton és írja fel ebben a pontban az inverz érintőjének egyenletét.
6. Bizonyítsa
be, hogy ,
.
7. Bizonyítsa
be, hogy az egyenletnek
pontosan egy megoldása van a
intervallumban.
8. Az f(x)
deriválható függvényről tudjuk, hogy , ha
.
Mutassa meg,
hogy ekkor .
9.
10. Két ember egy vízszintes helyzetben lévő létrát visz. Derékszögben hajló folyosón legfeljebb milyen hosszú létrával tudnak bekanyarodmi, ha a folyosók szélessége 3m és 5m?
11. Három város mindegyike egy egyenlőszárú derékszögű háromszög egy-egy csúcsában helyezkedik el. A városok közösen bevásárlóközpont építését tervezik. A létesítendő központ helyét úgy határozzák meg, hogy azt a városokkal összekötő utak összhossza minimális legyen. Hol legyen a bevásárlóközpont?
12. Mutasson
példát olyan függvényre
(ha van ilyen), melyre igaz hogy
a.) az helyen van érintője,
de
nem
létezik;
b.) az helyen pontosan
tízszer differenciálható (és
nem létezik);
c.) az helyen
és
;
d.) pontosan tíz
olyan helye
van, ahol
nem
létezik, minden más helyen a függvény deriválható;
e.) az helyen inflexiós pont
van, de
és
nem létezik;
f.) az helyen inflexiós pont
van, de
nem
vált előjelet az
helyen;
g.) , ha
és
, ha
, de az
helyen nincs
inflexiós pontja a függvénynek.
13. Keresse meg
az függvénynek
azt a pontját, amelyben a görbülete maximális.
14. Legyenek és
az
függvény harmad-,
illetve negyedrendű Taylor-polinomjai az
helyen. Lehetséges-e, hogy
a.) és
pontosan másodrendben
illeszkednek az
helyen;
b.) és
pontosan hamadrendben
illeszkednek az
helyen;
c.) és
pontosan
negyedrendben illeszkednek az
helyen;
d.) és
pontosan
negyedrendben illeszkednek az
helyen;
e.) ;
f.) ?
Ha igen, mutasson példát, ha nem, indokoljon.
15. Egy R sugarú gömböt egymással párhuzamos síkokkal n darab egyenlő vastagságú szeletre vágunk. Bizonyítsa be, hogy az így keletkező gömbszeletek palástjának felszíne azonos. (Gömb alakú kenyeret egyenlő vastagságú szeletekre vágva minden szeletnek ugyanannyi héja lesz.)
Haladóknak:
16. Adott V térrészt töltsünk ki egyenlő sugarú gömbökkel a lehető legsűrűbben. (Pl. kamion rakterét dinnyékkel.) Csökkentsük a gömbök sugarát (cseréljük a dinnyéket teniszlabdákra, majd pingponklabdákra, majd gyöngyszemekre, stb.) és képezzük a kihasznált térrész és V hánydosát. Kérdés, hogy az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, és ha igen, hová?
(Ez a 4. feladat térbeli általánosítása.)