Beadható feladatok

Matematika B1

1.Keresse meg a komplex számsíkon azokat a számokat, melyekre teljesül, hogy,

a.) ,                      b.) ,                               c.) ,

d.),                   e.) ,                                  f.) .

2. Mutasson példát olyan sorozatra (ha van ilyen), melynek

a.) pontosan három torlódási pontja van;

b.) nincs torlódási pontja, de van határértéke;

c.) pontosan egy torlódási pontja van, de nincs határértéke;

d.)  és a sorozat nem monoton.

3. Az  sorozatról tudjuk, hogy van torlódási pontja, de nincs határértéke. Igazak-e a következő állítások?

a.) Lehet, hogy  korlátos.                       b.) Lehet, hogy  nem korlátos.

c.) Lehet, hogy  monoton.                      d.) Lehet, hogy  nem monoton.

Ha igaz az állítás, mutasson rá példát, ha nem igaz, indokoljon.

4. Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögbe írjunk egyenlősugarú köröket az ábrán látható módon. Szaporítsuk az „emeletek” számát (n), így mindig eggyel több körlapot helyezünk egy oldalra. Osszuk el a beírt körlapok területének összegét a háromszög területével. Kérdés, hogy az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, és ha igen, hová.

(n = 2)

5. Mutassa meg, hogy az  függvény invertálható, ha . (Az inverzet megadni nem kell.)

c.) Mutassa meg, hogy az inverzfüggvény átmegy az (e;-1) ponton és írja fel ebben a pontban az inverz érintőjének egyenletét.

6. Bizonyítsa be, hogy , .

7. Bizonyítsa be, hogy az  egyenletnek pontosan egy megoldása van a  intervallumban.

8. Az f(x) deriválható függvényről tudjuk, hogy , ha .

Mutassa meg, hogy ekkor .

9.

10. Két ember egy vízszintes helyzetben lévő létrát visz. Derékszögben hajló folyosón legfeljebb milyen hosszú létrával tudnak bekanyarodmi, ha a folyosók szélessége 3m és 5m?

11. Három város mindegyike egy egyenlőszárú derékszögű háromszög egy-egy csúcsában helyezkedik el. A városok közösen bevásárlóközpont építését tervezik. A létesítendő központ helyét úgy határozzák meg, hogy azt a városokkal összekötő utak összhossza minimális legyen. Hol legyen a bevásárlóközpont?

12. Mutasson példát olyan függvényre (ha van ilyen), melyre igaz hogy

a.) az  helyen van érintője, de  nem létezik;

b.) az  helyen pontosan tízszer differenciálható (és  nem létezik);

c.) az  helyen  és ;

d.) pontosan tíz olyan  helye van, ahol  nem létezik, minden más helyen a függvény deriválható;

e.) az  helyen inflexiós pont van, de  és  nem létezik;

f.) az  helyen inflexiós pont van, de  nem vált előjelet az  helyen;

g.) , ha  és , ha , de az  helyen nincs inflexiós pontja a függvénynek.

13. Keresse meg az  függvénynek azt a pontját, amelyben a görbülete maximális.

14. Legyenek   és  az  függvény harmad-, illetve negyedrendű Taylor-polinomjai az  helyen. Lehetséges-e, hogy

a.)  és  pontosan másodrendben illeszkednek az  helyen;

b.)  és  pontosan hamadrendben illeszkednek az  helyen;

c.)  és  pontosan negyedrendben illeszkednek az  helyen;

d.)  és  pontosan negyedrendben illeszkednek az  helyen;

e.) ;

f.) ?

Ha igen, mutasson példát, ha nem, indokoljon.

15. Egy R sugarú gömböt egymással párhuzamos síkokkal n darab egyenlő vastagságú szeletre vágunk. Bizonyítsa be, hogy az így keletkező gömbszeletek palástjának felszíne azonos. (Gömb alakú kenyeret egyenlő vastagságú szeletekre vágva minden szeletnek ugyanannyi héja lesz.)           

Haladóknak:

16. Adott V térrészt töltsünk ki egyenlő sugarú gömbökkel a lehető legsűrűbben. (Pl. kamion rakterét dinnyékkel.) Csökkentsük a gömbök sugarát (cseréljük a dinnyéket teniszlabdákra, majd pingponklabdákra, majd gyöngyszemekre, stb.) és képezzük a kihasznált térrész és V hánydosát. Kérdés, hogy az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, és ha igen, hová?

(Ez a 4. feladat térbeli általánosítása.)