GYAKORLÓ FELADATOK I.

I. éves építőmérnök és környezetmérnök hallgatók számára

a Matematika B1 tantárgyhoz

1. Adja meg a következő komplex számok trigonometrikus alakját:

.

2. Adja meg az algebrai alakot:

.

3. Számítsa ki és adja meg a választ algebrai alakban:

,

4. Oldja meg az alábbi komplex egyenleteket:

a.) , b.) , c.) , d.) ,

e.) , f.) , g.) .

5. Egy szabályos háromszög két csúcsa a komplex számsíkon . Határozza meg a harmadik csúcs helyét.

6. Jelölje M: Magyarország lakóinak halmazát,

F: a világ férfi lakóinak halmazát,

A: a világ analfabétáinak halmazát.

Fejezze ki ezekkel azokat a halmazokat, melyek a következő személyeket tartalmazzák:

a.) az összes külföldi analfabétát,

b.) az összes analfabéta férfit,

c.) a teljes férfi lakosságát és a magyar nőket,

d.) az írástudó magyar férfiakat,

e.) az írástudó magyar nőket,

f.) a magyar analfabéta nőket és a külföldi írástudó férfiakat.

7. Tagadja a következő állításokat:

a.) „Minden f függvényre igaz, hogy ha , akkor .”

b.) „A BME-n van olyan tanszék, ahol nem minden oktató osztályoz igazságosan.”

c.) „A BME-n nincs olyan tanszék, ahol minden oktató igazságosan osztályoz.”

8. Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy

a.) , b.) , ha .

9. Bizonyítsa be, hogy .

10. Határozza meg az hatvány binomiális tétel szerinti kifejtésének középső tagját.

11. Számítsa ki az alábbi összegek pontos értékét:

a.) , b.) , c.) (i: képzetes egység),

d.) .

12. Mi az polinomnak a polinommal való osztásának maradéka?

a.), ,

b) , .

13. Írja fel a polinomot valós együtthatós első és másodfokú polinomok szorzataként.

14. Legyen . Határozza meg azt a legkisebb N természetes számot, amelyre teljesül, hogy esetén az eltérése az sorozat határértékétől kisebb, mint .

15. Írja fel az alábbi végtelen sorozatok első néhány tagját. Vizsgálja meg, a sorozat korlátos-e, monoton-e, konvergens-e. Határozza meg a konvergens sorozatok határértékét.

a.) , b.) , c.) .

16. Konvergensek-e az alábbi számsorozatok? Ha igen, számítsa ki a határértéket:

a.) , b.) , c.) ,

d.) , e.) , f.) .

g.) , h.) , i.) ,

j.) , k.) , l.) .

17.* Egy egységnyi oldalú szabályos háromszögbe írjunk egyenlősugarú köröket az ábrán látható módon. Szaporítsuk az „emeletek” számát (n), így mindig eggyel több körlapot helyezünk egy oldalra. Osszuk el a beírt körlapok területének összegét a háromszög területével. Kérdés, hogy az így kapott hányadosok sorozata konvergál-e, és ha igen, hová.

(n = 2)