%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 2. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi logaritmusértékeket:
\begin{enumerate}
\item $\log_2 8$ \megold{$3$}
\item $\log_2 32$ \megold{$5$}
\item $\log_2 1$ \megold{$0$}
\item $\log_2\frac{1}{2}$ \megold{$-1$}
\item $\log_2\frac{1}{16}$ \megold{$-4$}
\item $\log_2 \sqrt{2}$ \megold{$\frac{1}{2}$}
\item $\log_2 \sqrt[3]{4}$ \megold{$\frac{2}{3}$}
\item $\log_2 \sqrt[5]{8}$ \megold{$\frac{3}{5}$}
\item $\log_{16} 16$ \megold{$1$}
\item $\log _{16}2$ \megold{$\frac{1}{4}$}
\item $\log _{16}32$ \megold{$\frac{5}{4}$}
\item $\log _{16}\frac{1}{8}$ \megold{$-\frac{3}{4}$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi logaritmusértékeket:
\begin{enumerate}
\item $\log_{10}4+\log_{10}25$ \megold{$2$}
\item $\log_6 9+\log_6 24$ \megold{$3$}
\item $\log_4 16+\log_4\frac{1}{8}$ \megold{$\frac{1}{2}$}
\item $\log_2 48-\log_2 3$ \megold{$4$}
\item $\log_3 108-\log_3 4$ \megold{$3$}
\item $\log_6 3-\log_6\frac{1}{2}$ \megold{$1$}
\item $\log_6\frac{1}{12}-\log_6 3$ \megold{$-2$}
\item $\log_3(\tg (\frac{\pi }{6}))-\log_3(\tg (\frac{\pi }{3}))$ \megold{$-1$}
\item $\log_2\sqrt{12}-\log_2(\sin (\frac{\pi }{3}))$ \megold{$2$}
\item $\log _5 125^4$\megold{$12$}
\item $\log _416^3-\log_93^4$ \megold{$4$}
\end{enumerate}
\item Számolja ki az alábbi komplex számok algebrai alakját:
\begin{enumerate}
\item $(2+3i)+(4+5i)$ \megold{$6+8i$}
\item $(7+6i)+(3+9i)$ \megold{$10+15i$}
\item $(4-2i)-(8+3i)$ \megold{$-4-5i$}
\item $(9+7i)-(11-8i)$ \megold{$-2+15i$}
\item $(5+2i)+(-1+2i)-(3+9i)$ \megold{$1-5i$}
\item $(2+3i)(4+5i)$ \megold{$-7+22i$}
\item $(-1+4i)(3-6i)$ \megold{$21+24i$}
\item $(4-2i)(3+7i)(1+3i)$ \megold{$-40+100i$}
\item $\frac{9+5i}{3+4i}$ \megold{$\frac{47}{25}-\frac{21}{25}i$}
\item $\frac{6+2i}{2-3i}$ \megold{$\frac{6}{13}+\frac{22}{13}i$}
\item $\frac{(7-3i)(5+2i)}{1-2i}$ \megold{$\frac{43}{5}+\frac{81}{5}i$}
\item $\frac{3+4i}{(1+i)(2-i)}$ \megold{$\frac{13}{10}+\frac{9}{10}i$}
\end{enumerate}
\item Oldja meg az alábbi lineáris egyenleteket:
\begin{enumerate}
\item $(3+2i)z=5+7i$ \megold{$\frac{29}{13}+\frac{11}{13}i$}
\item $6+2i+iz=4+2z$ \megold{$\frac{2}{5}+\frac{6}{5}i$}
\item $9+(3+4i)z=5+8i+(7+i)z$ \megold{$\frac{8}{5}-\frac{4}{5}i$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi algebrai alakban megadott komplex számok trigonometrikus alakját:
\begin{enumerate}
\item $1+i$ \megold{$\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)$}
\item $2+2\sqrt{3}i$ \megold{$4 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)$}
\item $3-\sqrt{3}i$ \megold{$2\sqrt{3} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)$}
\item $-2+2\sqrt{3}i$ \megold{$4 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)$}
\item $-5+5i$ \megold{$5\sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)$}
\item $10$ \megold{$10 \left( \cos 0 + i \sin 0 \right)$}
\item $i$ \megold{$\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi trigonometrikus alakban adott komplex számok algebrai alakját:
\begin{enumerate}
\item $10(\cos (\frac{\pi }{3})+i\sin (\frac{\pi }{3}))$ \megold{$5+5\sqrt{3} i$}
\item $4(\cos (\frac{5\pi }{6})+i\sin (\frac{5\pi }{6}))$ \megold{$-2\sqrt{3} + 2i$}
\item $3(\cos (\frac{3\pi }{4})+i\sin (\frac{3\pi }{4}))$ \megold{$-\frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} i$}
\item $6(\cos (\frac{5\pi }{3})+i\sin (\frac{5\pi }{3}))$ \megold{$3-3\sqrt{3} i$}
\item $2(\cos (\frac{7\pi }{6})+i\sin (\frac{7\pi }{6}))$ \megold{$\sqrt{3}+ i$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi komplex számok algebrai alakját:
\begin{enumerate}
\item $(\sqrt{3}+i)^{18}$ \megold{$-2^{18}$}
\item $(-1-i)^7$ \megold{$-8+8i$}
\item $(1-\sqrt{3}i)^{10}$ \megold{$-2^9 + 2^9 \sqrt{3} i$}
\item $\frac{(1+i)^{25}}{(2+2\sqrt{3}i)^5}$ \megold{$2^{12} + 2^{12} i$}
\item $(-1+\sqrt{3}i)^{10}+(-1-\sqrt{3}i)^{10}$ \megold{-$2^{10}$}
\item $(1+i)^{13}(1-i)^{12}$ \megold{$2^{12} + 2^{12} i$}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
