%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 3. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi, algebrai alakban adott komplex számok $n$-edik gyökeinek algebrai alakját:
\begin{enumerate}
\item $z=16$, $n=4$
\megold{$2, 2i, -2, -2i$}
\item $z=-8+8\sqrt{3}i$, $n=4$ \megold{$\sqrt{3}+i, -1+\sqrt{3}i, -\sqrt{3}-i,1-\sqrt{3}i$}
\item $z=-128-128\sqrt{3}i$, $n=4$ \megold{$2+2\sqrt{3}i, -2\sqrt{3}+2i, -2-2\sqrt{3}i, 2\sqrt{3}-2i$}
\item $z=-81$, $n=4$ \megold{$\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i, -\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}i, -\frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i, \frac{3\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}i$}
\item $z=8i$, $n=3$ \megold{$\sqrt{3}+i, -2i, -\sqrt{3}+i$}
\item $z=64$, $n=3$, \megold{$4,-2+2\sqrt{3}i, -2-2\sqrt{3}i$}
\item $z=-216$, $n=3$ \megold{$3+3\sqrt{3}i, -6, 3-3\sqrt{3}i$}
\item $z=64$, $n=6$ \megold{$2, 1+\sqrt{3}i, -1+\sqrt{3}i, -2, -1-\sqrt{3}i, 1-\sqrt{3}i$}
\item $z=-2+2\sqrt{3}i$, $n=2$ \megold{$1+\sqrt{3}i, -1-\sqrt{3}i$}
\item $z=-4$, $n=2$, \megold{$2i,-2i$}
\item $z=2i$, $n=2$ \megold{$1+i,-1-i$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi egyenletek gyökeinek algebrai alakjait:
\begin{enumerate}
\item $z^4+16=0$ \megold{$\sqrt{2}+\sqrt{2}i, -\sqrt{2}+\sqrt{2}i, -\sqrt{2}-\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i$}
\item $z^5-256z=0$ \megold{$0, 4, 4i, -4, -4i$}
\item $z^4+8+8\sqrt{3}i=0$ \megold{$1+\sqrt{3}i, -\sqrt{3}+i, -1-\sqrt{3}i, \sqrt{3}-i$}
\item $z^3+8i=0$ \megold{$2i, -\sqrt{3}-i, +\sqrt{3}-i$}
\item $8z^3+1=0$ \megold{$\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}i$}
\item $z^4-iz=0$ \megold{$0, i, -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i, \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$}
\item $z^2+8i=0$ \megold{$-2+2i, 2-2i$}
\item $z^2+2z+5=0$ \megold{$-2+2i, -2-2i$}
\item $z^2-10z+34=0$ \megold{$5+3i, 5-3i$}
\item $4z^2+4z+5=0$ \megold{$-\frac{1}{2}+4i, -\frac{1}{2}-4i$}
\item $z^4+z^2+1=0$ \megold{$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az $\underline{a}$ és $\underline{b}$ vektorok által bezárt szöget:
\begin{enumerate}
\item $\underline{a}=(2,4,1)$, $\underline{b}=(3,6,-1)$ \megold{$21,\!083^{\circ}$}
\item $\underline{a}=(-1,1,1)$, $\underline{b}=(4,2,3)$ \megold{$83,\!845^{\circ}$}
\item $\underline{a}=(-4,2,-1)$, $\underline{b}=(0,2,-1)$ \megold{$60,\!794^{\circ}$}
\item $\underline{a}=(10,3,2)$, $\underline{b}=(2,0,0)$ \megold{$19,\!827^{\circ}$}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Határozza meg az $x$ értéket, hogy az $\underline{a}=(x,3,1)$, $\underline{b}=(4,7,-5)$ vektorok merőlegesek legyenek! \megold{$-4$}
\item Határozza meg a $z$ értéket, hogy az $\underline{a}=(1,1,0)$ és $\underline{b}=(1,0,z)$ vektorok $60^{\circ}$-ot zárjanak be! \megold{$1,-1$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg a $\underline{v}$ vektornak az $\underline{u}$ vektorral párhozamos és rá merőleges komponensét!
\begin{enumerate}
\item $\underline{u}=(6,2,1)$, $\underline{v}=(4,1,2)$ \megold{$\underline{v}_{||}=\left( \frac{168}{41}, \frac{56}{41}, \frac{28}{41} \right), \underline{v}_{\perp}= \left( -\frac{4}{41}, -\frac{15}{41}, \frac{54}{41} \right)$}
\item $\underline{u}=(5,3,-1)$, $\underline{v}=(2,1,2)$ \megold{$\underline{v}_{||}=\left( \frac{11}{7}, \frac{33}{35}, -\frac{11}{35} \right), \underline{v}_{\perp}= \left( \frac{3}{7}, \frac{2}{35}, \frac{81}{35} \right)$}
\item $\underline{u}=(-1,1,1)$, $\underline{v}=(1,0,2)$ \megold{$\underline{v}_{||}=\left( -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right), \underline{v}_{\perp}= \left( \frac{4}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3} \right)$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi vektorok vektoriális szorzatát:
\begin{enumerate}
\item $\underline{u}=(-1,2,-1)$, $\underline{v}=(5,3,2)$ \megold{$(7,-3,-13)$}
\item $\underline{u}=(-3,-2,1)$, $\underline{v}=(0,3,2)$ \megold{$(-7,6,-9)$}
\item $\underline{u}=(7,4,2)$, $\underline{v}=(-5,1,2)$ \megold{$(6,-24,27)$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi vektorok által meghatározott háromszögek területét:
\begin{enumerate}
\item $\underline{u}=(4,-1,2)$, $\underline{v}=(1,1,2)$ \megold{$\frac{1}{2}\sqrt{77}$}
\item $\underline{u}=(1,2,3)$, $\underline{v}=(-2,-3,2)$ \megold{$\frac{3}{2}\sqrt{26}$}
\item $\underline{u}=(2,3,2)$, $\underline{v}=(-2,1,2)$ \megold{$6$}

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
