%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
%\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 4. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Határozza meg az $\underline{a}=(2;3;-1)$, $\underline{b}=(-1;2;1)$ és $\underline{c}=(4;0;3)$ vektorok vegyesszorzatát!
\item Határozza meg az $\underline{a}=(-1;-1;3)$, $\underline{b}=(3;2;1)$ és $\underline{c}=(1;-2;3)$ vektorok által meghatározott paralelepipedon térfogatát! 
\item Határozza meg az $\underline{a}=(5;-2;3)$, $\underline{b}=(0;3;2)$ és $\underline{c}=(-1;5;4)$ vektorok által meghatározott tetraéder térfogatát!
\item Határozza meg az $A(1;4;-2)$, $B(0;4;3)$, $C(-3;2;1)$ és $D(3;1;2)$ csúcsú tetraéder térfogatát!
\item Határozza meg az $x$ koordinátát úgy, hogy az $\underline{a}=(x;1;2)$, $\underline{b}=(1;4;3)$ és $\underline{c}=(2;2;1)$ vektorok egy síkban legyenek! 
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $A(1;2;3)$ és a $B(7;-4;5)$ pontokat. Határozza meg az
\begin{enumerate}
\item $A$ és $B$ pontok távolságát;
\item $A$ és $B$ pontok által meghatározott egyenes paraméteres egyenletrendszerét;
\item $A$ és $B$ pontoktól egyenlő távolságra lévő sík egyenletét.
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $A(1;2;3)$, $B(3;4;5)$ és a $C(-1;2;-1)$ pontokat. Határozza meg az
\begin{enumerate}
\item $A$, $B$ és $C$ pontokat tartalmazó sík egyenletét;
\item $A$, $B$ és $C$ pontok által meghatározott háromszög területét;
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben az $A$ csúcsnál lévő szöget;
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben a $B$ csúcsnál lévő szöget;
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben a $C$ csúcsnál lévő szöget;
\item $A$ pont távolságát a $B$ és $C$ pontokon átmenő egyenestől;
\item $B$ pont távolságát az $A$ és $C$ pontokon átmenő egyenestől;
\item $C$ pont távolságát az $A$ és $B$ pontokon átmenő egyenestől.
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $e$: $x=3+2t$, $y=-1+t$ és $z=2-t$, $t\in \mathbb{R}$ és az $f$: $x=6+s$, $y=4+4s$ és $z=3+2s$, $s\in \mathbb{R}$ paraméterezésű egyeneseket.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek metszők! Határozza meg a metszéspontot!
\item Határozza meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek milyen szögben metszik egymást!
\item Határozza meg az $e$ és $f$ egyeneseket tartalmazó sík egyenletét!
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $e$: $x=3+2t$, $y=-1+t$ és $z=2-t$, $t\in \mathbb{R}$ és az $f$: $x=5-4s$, $y=7-2s$ és $z=3+2s$, $s\in \mathbb{R}$ paraméterezésű egyeneseket.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek párhuzamosak!
\item Határozza meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek távolságát!
\item Határozza meg az $e$ és $f$ egyeneseket tartalmazó sík egyenletét!
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $2x+3y+4z=5$ egyenletű $S$ és a $-x+4y+z=7$ egyenletű $T$ síkot.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $S$ és $T$ síkok nem párhuzamosak!
\item Határozza meg az $S$ és $T$ egyenes metszésvonalaként előálló egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
\item Határozza meg, hogy az $S$ és $T$ síkok milyen szögben metszik egymást!
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $P(3;2;1)$ pontot és az $x=4-t$, $y=2+3t$ és $z=1+t$, $t\in \mathbb{R}$ paraméterezésű $e$ egyenest.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy a $P$ pontot nem tartalmazza az $e$ egyenes!
\item Határozza meg a $P$ ponton átmenő, $e$ egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
\item Határozza meg a $P$ pont és az $e$ egyenes távolságát!
\item Határozza meg a $P$ pontot és az $e$ egyenest tartlamazó sík egyenletét!
\item Tükrözze a $P$ pontot az $e$ egyenesre!
\item Tükrözze az $e$ egyenest a $P$ pontra!
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $P(2;-1;3)$ pontot a $2x-y+3z=5$ egyenletű $S$ síkot!
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy a $P$ pontot nem tartalmazza az $S$ sík!
\item Határozza meg a $P$ ponton átmenő, $S$ síkkal párhuzamos sík egyenletrendszerét!
\item Határozza meg a $P$ pont és az $S$ sík távolságát!
\item Tükrözze a $P$ pontot az $S$ síkra!
\item Tükrözze az $S$ síkot a $P$ pontra!
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $x=2-t$, $y=3+2t$ és $z=5-2t$ paraméterezésű $e$ egyenest és a $2x-y-z=1$ egyenletű $S$ síkot!
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ egyenes és az $S$ sík nem párhuzamos!
\item Határozza meg az $e$ egyenes és az $S$ sík metszéspontját!
\item Határozza meg az $e$ egyenes $S$ síkra vetítésével kapott egyenes paraméteres egyenletrendszerét!
\item Határozza meg az $e$ egyenes és az $S$ sík által bezárt szöget!
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
