%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 4. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Határozza meg az $\underline{a}=(2;3;-1)$, $\underline{b}=(-1;2;1)$ és $\underline{c}=(4;0;3)$ vektorok vegyesszorzatát!
\megold{$41$}
\item Határozza meg az $\underline{a}=(-1;-1;3)$, $\underline{b}=(3;2;1)$ és $\underline{c}=(1;-2;3)$ vektorok által meghatározott paralelepipedon térfogatát!
\megold{$24$}
\item Határozza meg az $\underline{a}=(5;-2;3)$, $\underline{b}=(0;3;2)$ és $\underline{c}=(-1;5;4)$ vektorok által meghatározott tetraéder térfogatát!
\megold{$\frac{23}{6}$}
\item Határozza meg az $A(1;4;-2)$, $B(0;4;3)$, $C(-3;2;1)$ és $D(3;1;2)$ csúcsú tetraéder térfogatát!
\megold{$\frac{79}{6}$}
\item Határozza meg az $x$ koordinátát úgy, hogy az $\underline{a}=(x;1;2)$, $\underline{b}=(1;4;3)$ és $\underline{c}=(2;2;1)$ vektorok egy síkban legyenek!
\megold{$-\frac{7}{2}$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $A(1;2;3)$ és a $B(7;-4;5)$ pontokat. Határozza meg az
\begin{enumerate}
\item $A$ és $B$ pontok távolságát; \megold{$\sqrt{76}$}
\item $A$ és $B$ pontok által meghatározott egyenes paraméteres egyenletrendszerét; \megold{$x=3t+1,y=-3t+2,z=t+3, t \in \mathbb{R}$}
\item $A$ és $B$ pontoktól egyenlő távolságra lévő sík egyenletét. \megold{$3x-3y+z=19$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $A(1;2;3)$, $B(3;4;5)$ és a $C(-1;2;-1)$ pontokat. Határozza meg az
\begin{enumerate}
\item $A$, $B$ és $C$ pontokat tartalmazó sík egyenletét; \megold{$-x+z=2$}
\item $A$, $B$ és $C$ pontok által meghatározott háromszög területét; \megold{$2\sqrt{2}$}
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben az $A$ csúcsnál lévő szöget; \megold{$\approx 144,\!74^{\circ}$}
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben a $B$ csúcsnál lévő szöget; \megold{$\approx 15,\!79^{\circ}$}
\item $A$, $B$ és $C$ csúcsú háromszögben a $C$ csúcsnál lévő szöget; \megold{$\approx 19,\!47^{\circ}$}
\item $A$ pont távolságát a $B$ és $C$ pontokon átmenő egyenestől; \megold{$\frac{2  \sqrt{21}}{7}$}
\item $B$ pont távolságát az $A$ és $C$ pontokon átmenő egyenestől; \megold{$\frac{2  \sqrt{30}}{5}$}
\item $C$ pont távolságát az $A$ és $B$ pontokon átmenő egyenestől. \megold{$2 \sqrt{2}$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $e$: $x=3+2t$, $y=-1+t$ és $z=2-t$, $t\in \mathbb{R}$ és az $f$: $x=6+s$, $y=4+4s$ és $z=3+2s$, $s\in \mathbb{R}$ paraméterezésű egyeneseket.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek metszők! Határozza meg a metszéspontot! \megold{$(5,0,-1)$}
\item Határozza meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek milyen szögben metszik egymást! \megold{$\approx 69,\!12^{\circ}$}
\item Határozza meg az $e$ és $f$ egyeneseket tartalmazó sík egyenletét! \megold{$6x-5y+7z=37$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $e$: $x=3+2t$, $y=-1+t$ és $z=2-t$, $t\in \mathbb{R}$ és az $f$: $x=5-4s$, $y=7-2s$ és $z=3+2s$, $s\in \mathbb{R}$ paraméterezésű egyeneseket.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek párhuzamosak! \megold{Az irányvektoraik egymás skalárszorosai.}
\item Határozza meg, hogy az $e$ és $f$ egyenesek távolságát! \megold{$\frac{\sqrt{1758}}{6}$}
\item Határozza meg az $e$ és $f$ egyeneseket tartalmazó sík egyenletét! \megold{$-9x+4y-14z=-59$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $2x+3y+4z=5$ egyenletű $S$ és a $-x+4y+z=7$ egyenletű $T$ síkot.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $S$ és $T$ síkok nem párhuzamosak! \megold{A normálvektoraik nem egymás skalárszorosai.}
\item Határozza meg az $S$ és $T$ síkok metszésvonalaként előálló egyenes paraméteres egyenletrendszerét! \megold{$x=13t-\frac{23}{6}, y=6t, z=-11t+\frac{19}{6}, t \in \mathbb{R}$}
\item Határozza meg, hogy az $S$ és $T$ síkok milyen szögben metszik egymást! \megold{$\approx 52,\!21^{\circ}$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $P(3;2;1)$ pontot és az $x=4-t$, $y=2+3t$ és $z=1+t$, $t\in \mathbb{R}$ paraméterezésű $e$ egyenest.
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy a $P$ pontot nem tartalmazza az $e$ egyenes! \megold{A pont koordinátáit az egyenes egyenletrendszerébe behelyettesítve a kapott egyenletrendszernek nincs megoldása.}
\item Határozza meg a $P$ ponton átmenő, $e$ egyenessel párhuzamos egyenes paraméteres egyenletrendszerét! \megold{$x=3-t, y=2+3t, z=1+t, t \in \mathbb{R}$}
\item Határozza meg a $P$ pont és az $e$ egyenes távolságát! \megold{$\frac{\sqrt{110}}{11}$}
\item Határozza meg a $P$ pontot és az $e$ egyenest tartalmazó sík egyenletét! \megold{$y-3z=-1$}
\item Tükrözze a $P$ pontot az $e$ egyenesre! \megold{$\left( \frac{53}{11}, \frac{28}{11}, \frac{13}{11} \right)$}
\item Tükrözze az $e$ egyenest a $P$ pontra! \megold{$x=2-t, y=2+3t, z=1+t, t \in \mathbb{R}$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük a $P(2;-1;3)$ pontot a $2x-y+3z=5$ egyenletű $S$ síkot!
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy a $P$ pontot nem tartalmazza az $S$ sík! \megold{A pont koordinátái nem elégítik ki a sík egyenletét}
\item Határozza meg a $P$ ponton átmenő, $S$ síkkal párhuzamos sík egyenletrendszerét! \megold{$2x-y+3z=14$}
\item Határozza meg a $P$ pont és az $S$ sík távolságát! \megold{$\frac{9}{\sqrt{14}}$}
\item Tükrözze a $P$ pontot az $S$ síkra! \megold{$\left( -\frac{4}{7}, \frac{2}{7}, -\frac{6}{7} \right)$}
\item Tükrözze az $S$ síkot a $P$ pontra! \megold{$2x-y+3z=23$}
\end{enumerate}
\item Tekintsük az $x=2-t$, $y=3+2t$ és $z=5-2t$ paraméterezésű $e$ egyenest és a $2x-y-z=1$ egyenletű $S$ síkot!
\begin{enumerate}
\item Mutassa meg, hogy az $e$ egyenes és az $S$ sík nem párhuzamos! \megold{Az egyenes irányvektora nem merőleges a sík normálvektorára.}
\item Határozza meg az $e$ egyenes és az $S$ sík metszéspontját! \megold{$\left( \frac{9}{2}, -2, 10 \right)$}
\item Határozza meg az $e$ egyenes $S$ síkra vetítésével kapott egyenes paraméteres egyenletrendszerét! \megold{$x=4+t, y=\frac{1}{2}-5t, z=\frac{13}{2}+7t, t \in \mathbb{R}$}
\item Határozza meg az $e$ egyenes és az $S$ sík által bezárt szöget! \megold{$\approx 54,\!74^{\circ}$}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}
