%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 5. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Vizsgálja meg a következő sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából:
\begin{enumerate}
\item $\frac{1}{n}$ \megold{Szigorúan csökkenő. Korlátos, felső korlát pl. $1$, alsó korlát pl. $0$.}
\item $\frac{n-1}{n}$ \megold{Szigorúan növő. Korlátos, felső korlát pl. $1$, alsó korlát pl. $0$.}
\item $\frac{2n+1}{2n-1}$ \megold{Szigorúan csökkenő. Korlátos, felső korlát pl. $3$, alsó korlát pl. $1$.}
\item $\frac{n^2+1}{n}$ \megold{Szigorúan növő. Alulról korlátos, alsó korlátja pl. $2$. Felülről nem korlátos.}
\item $\frac{(-1)^n}{n}$ \megold{Nem monoton. Korlátos, alsó korlátja pl. $-1$, felső korlátja pl. $\frac{1}{2}$.}
\item $(-1)^nn$ \megold{Nem monoton. Nem korlátos sem alulról, sem felülről.}
\item $\frac{n}{10^n}$\megold{Szigorúan csökkenő. Korlátos, felső korlátja pl. $\frac{1}{10}$, alsó korlátja pl. $0$.}
\item $\frac{1}{n!}$ \megold{Szigorúan csökkenő. Korlátos, felső korlátja pl. $1$, alsó korlátja pl. $0$.}
\item $\frac{2^n}{n!}$ \megold{Szigorúan csökkenő. Korlátos, felső korlátja pl. $2$, alsó korlátja pl. $0$.}
\item $n!-n$ \megold{Szigorúan növő. Alulról korlátos, also korlátja pl. $0$, felülről nem korlátos.}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi sorozatok határértékeit:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{3}{2n+4}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{4n+3}{3n-2}$
\megold{$\frac{4}{3}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{6n-1}{7n+2024}$
\megold{$\frac{6}{7}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{5n-2}{n^2+n+1}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{2n^2-3n+5}{n^2-6n+7}$
\megold{$2$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{3n-4n^2}{1,5n^2-4n-9}$
\megold{$-\frac{8}{3}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{n+1}{n^3-5}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{3n+5\sqrt{n}+2}{2n-1}$
\megold{$\frac{3}{2}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{4n+\sqrt{n+1}}{5n-\sqrt{n-1}}$
\megold{$\frac{4}{5}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt{2n^2+1}}{2n-1}$
\megold{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2-1}+2n}$
\megold{$\frac{2}{3}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{1}{2^{n+1}}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{4^n}{4^{n+1}+2}$
\megold{$\frac{1}{4}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{4^{n+2}}{2^{2n+1}+3}$
\megold{$8$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{6^n+3^n}{6^{n-1}+2^n}$
\megold{$6$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{2^n}{2^{n+1}+2^{-n}}$
\megold{$\frac{1}{2}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{10^n+9^n}{10^{n+1}+2}$
\megold{$\frac{1}{10}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{n}{2n+3+10^{-n}}$
\megold{$\frac{1}{2}$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi sorozatok határértékeit:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{10n+5}$
\megold{$1$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^2+1}$
\megold{$1$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2 \cdot 10^n}$
\megold{$10$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2^{n+3}}$
\megold{$2$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^{2n+2}}$
\megold{$9$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{2^{3n-1}}$
\megold{$8$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^23^n}$
\megold{$3$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{n+1}{4^n}}$
\megold{$\frac{1}{4}$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n2^{n+4}}$
\megold{$2$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az alábbi sorozatok határértékeit:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{n}{2^n} $
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{\log_2n}{n^2+1}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{10^n}{n!}$
\megold{$0$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{10^n+n}$
\megold{$10$}
\item $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{n^3+4n^2-6}{n!}$
\megold{$0$}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
