%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}
\newcommand{\sh}{\textmd{sh}\,}
\newcommand{\ch}{\textmd{ch}\,}

\center{\Large 7. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Deriválja az alábbi függvényeket:
\begin{enumerate}
\item $3\sin x-5\cos x$ \megold{$3 \cos x + 5 \sin x$}
\item $10^x-3\ln x +8x-12$ \megold{$10^x \ln 10 - \frac{3}{x} + 8$}
\item $2^{x+3}+(2x-3)^2$ \megold{$2^{x+3} \cdot \ln 2 + 2 (2x-3) \cdot 2$}
\item $3\ch x-12\sh x$ \megold{$3 \sh x - 12 \ch x$}
\item $8 \cdot e^x+5e^{-2x}-4e^{3x}$ \megold{$8 \cdot e^x + 5 e^{-2x} \cdot (-2) - 4 e^{3x} \cdot 3$}
\item $\frac{4 \cdot 2^x+5 \cdot 3^x}{6^x}$ \megold{$\frac{(4 \cdot 2^x \ln 2 +5 \cdot 3^x \ln 3) 6^x - (4 \cdot 2^x+5 \cdot 3^x)6^x \ln 6}{\left( 6^x \right)^2}$}
\end{enumerate}
\item Deriválja az alábbi függvényeket:
\begin{enumerate}
\item $(3x+2)\sin x$ \megold{$3 \sin x + (3x+2) \cos x$}
\item $x^2e^x$ \megold{$2xe^x + x^2 e^x$}
\item $\sqrt{x}\ln x$ \megold{$\frac{1}{2 \sqrt{x} \ln x + \frac{\sqrt{x}}{x}}$}
\item $\sin x \cos x$ \megold{$\cos^2 x -\sin^2 x$}
\item $10^x(3x^4-6)$ \megold{$10^x \ln 10 (3x^4-6 ) + 10^x \cdot 12 x^3$}
\item $xe^x\sin x$ \megold{$e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x$}
\item $\frac{x}{x+1}$ \megold{$\frac{1}{(x+1)^2}$}
\item $\frac{e^x}{x^2+1}$ \megold{$\frac{e^x(x^2+1-2x)}{(x^2+1)^2}$}
\item $\frac{x^2-\sin x}{\cos x}$ \megold{$\frac{(2x-\cos x) \cos x - (x^2-\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x}$}
\item $\frac{12x-7}{2x-67}$ \megold{$\frac{12(2x-67)-2(12x-7)}{(2x-67)^2}$}
\item $\frac{2^x x^2}{x+3}$ \megold{$\frac{(2^x \ln 2 x^2 + 2x 2^x)(x+3)-2^x x^2}{(x+3)^2}$}
\item $\frac{4x+2}{(7+8x)\sin x}$ \megold{$\frac{4 (7+8x) \sin x - (4x+2)(8 \sin x + (7+8x)\cos x)}{(7+8x)^2 \sin^2 x}$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg a külső $f(x)$ és a belső $g(x)$ függvényeket úgy, hogy az alábbi fügvények $f(g(x))$ alakúak legyenek:
\begin{enumerate}
\item $(2x+4)^7$ \megold{$f(x) = x^7$, $g(x) = 2x4$}
\item $\sqrt{e^x+1}$ \megold{$f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = e^x+1$}
\item $e^{x^3}$ \megold{$f(x) = e^x$, $g(x) = x^3$}
\item $\ln (3x^5-2)$ \megold{$f(x) = \ln x$, $g(x) = 3x^5-2$}
\item $\sin (x^2+3x)$ \megold{$f(x) = \sin x$, $g(x) = x^2+3x$}
\item $\tg (3x)$ \megold{$f(x) = \tg x$, $g(x)=3x$}
\item $e^{\ln x}$ \megold{$f(x) = e^x$, $g(x) = \ln x$}
\item $\ln (e^x)$ \megold{$f(x) = \ln x$, $g(x) = e^x$}
\item $\frac{1}{\sqrt{17-e^x}}$ \megold{$f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = 17-e^x$}
\item $\cos^2x$ \megold{$f(x) = x^2$, $g(x) = \cos x$}
\end{enumerate}
\item Deriválja az alábbi függvényeket:
\begin{enumerate}
\item $(6x-2)^9$ \megold{$9 (6x-2)^8 \cdot 6$}
\item $\sqrt[3]{46x^4-6}$ \megold{$\frac{1}{3} \left( 46x^4-6\right)^{-2/3} \cdot 46 \cdot 4 x^3$}
\item $e^{\sqrt{x}}$ \megold{$e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$}
\item $(e^x+1)^6$ \megold{$6(e^x+1)^5 \cdot e^x$}
\item $\sin (6x-\pi)$ \megold{$\cos(6x-\pi) \cdot 6$}
\item $e^{\sin x}\cos^5 x$ \megold{$e^{\sin x} \cos x \cdot \cos^5 x + e^{\sin x} \cdot 5 \cos^4 x \cdot (- \sin x)$}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az $f(x)$ adott egyenessel párhuzamos érintőjét:
\begin{enumerate}
\item $x^2$, $y=6x-3$ \megold{$y=6x-9$}
\item $\sqrt[3]{x}$, $y=\frac{3}{4}x-2$ \megold{$y= \frac{3}{4}x + \frac{4}{9}$, $y= \frac{3}{4}x - \frac{4}{9}$}
\item $x^2+x$, $y=7x-3$ \megold{$y=7x-9$}
\item $\frac{1}{x}$, $y+ \frac{1}{4} x=8$ \megold{$y=-\frac{1}{4}x+1$, $y=-\frac{1}{4}x-1$}
\item $e^x$, $y=ex+2$ \megold{$y=ex$}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
