%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
%\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 8. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Határozza meg következő határértékeket:
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \lim_{x\to \pi } \frac{\sin x}{x^2-\pi ^2}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} {\ln (1-x)}{2x+3x^2}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tg x}{e^{2x}-1}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 1} \frac{x^5-1}{x^7-1}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 2} \frac{x^3-2x^2-4x+8}{x^3-4x^2+4x}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2-x^4}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x)-2x}{3x^2-10x^3}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x-sh x}{x^3}$
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x}\right) $
\item $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{\ln (1-x)}+\frac{1}{x} \right) $
\item $\displaystyle \lim_{x\to \infty} x(e^{\frac{1}{x}}-1)$
\item $\displaystyle \lim_{x\to \infty} x(\frac{\pi }{2}-arctg x) $
\end{enumerate}
\item Határozza meg az $a$ valós számot úgy, hogy az $f(x)$ függvény mindenhol folytonos legyen:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{x}-1}{x} & \mbox{ha $x<0$,}\\ x+a & \mbox{ha $x\ge 0$,} \end{array} \right.$ .
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^3+x^2-x-1}{x-1} & \mbox{ha $x<1$,}\\ 2x+a & \mbox{ha $x\ge 1$,} \end{array} \right.$ .
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1-\cos 2x}{x^2} & \mbox{ha $x<0$,}\\ e^x+a & \mbox{ha $x\ge 0$,} \end{array} \right.$ .
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\ln (1+x)}{2x} & \mbox{ha $x>0$,}\\ -x+a & \mbox{ha $x\le 0$,} \end{array} \right.$ .
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin ^2x}{x^2+x^4} & \mbox{ha $x<0$,}\\ 3x+a & \mbox{ha $x\ge 0$,} \end{array} \right.$ .
\end{enumerate}
\item Határozza meg az $a$ és $b$ valós számokat úgy, hogy az $f(x)$ függvény mindenhol folytonos legyen: 
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{e^{2x}-1}{x} & \mbox{ha $x<0$,}\\ ax+b & \mbox{ha $0\le x\le 1$,}\\ \frac{\ln x}{1-x} & \mbox{ha $x>1$.} \end{array} \right.$
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2-1}{x+1} & \mbox{ha $x<-1$,}\\ ax+b & \mbox{ha $-1\le x\le 1$,}\\ \frac{e^{x-1}}{1-x} & \mbox{ha $x>1$.} \end{array}
    \right.$
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin x}{x+\pi } & \mbox{ha $x<-\pi $,}\\ ax+b & \mbox{ha $-\pi \le x\le \pi $,}\\ \frac{\sin 2x}{x-\pi } & \mbox{ha $x>\pi $.} \end{array} \right.$
\item $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1-chx}{x^2} & \mbox{ha $x<0$,}\\ ax+b & \mbox{ha $0\le x\le 1$,}\\ \frac{\sqrt{x}-1}{x^3-1} & \mbox{ha $x>1$.} \end{array} \right.$
\end{enumerate}
\item Határozza meg, hogy az alábbi függvények hol monoton nő illetve csökken:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=3x^2-6x$
\item $f(x)=x^3-12x^2+36x+7$
\item $f(x)=3x^5-5x^3$
\item $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
\item $xe^{-x^2}$
\item $x^2e^{-x}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}
