%% LyX 1.4.2 created this file.  For more info, see http://www.lyx.org/.
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
\documentclass[magyar]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}

\usepackage[dvips]{graphicx}   %To insert ps figures
\usepackage{color,epsfig}      %To insert ps figures
\usepackage{float}
\usepackage{caption}

\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}
\frenchspacing
\usepackage{babel}

\usepackage{babel}
\makeatother
\begin{document}
%% A megoldás bekapcsolásához ezt a sort tedd be:
\newcommand{\megold}[1]{\textbf{\\Megoldás:} #1\\}
%% Ezt pedig vedd ki:
%\newcommand{\megold}[1]{}

\newcommand{\ctg}{\textmd{ctg}\,}
\newcommand{\tg}{\textmd{tg}\,}

\center{\Large 9. MATEMATIKA A1 FELADATSOR}

\begin{enumerate}
\item Végezzen teljes függvényvizsgálatot:
\begin{enumerate}
\item  $f(x)=x^2-2x-3$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek: $3,-1$, nem páros, nem páratlan, nem periodikus, a $(-\infty,1)$ intervallumon szigorúan csökkenő, az $(1,\infty)$ inervallumon szigorúan növő, lokális minimum az $(1,-4)$ pontban, $\mathbb{R}$-en konvex, nincs inflexiós pontja, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x)) = \infty$, értékkészlet: $[-4,\infty)$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf1.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = x^2-2x-3$ függvény grafikonja a $[-5,5]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=x^3-3x^2-9x+12$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek: harmadfokú egyenletnél nem tudjuk kiszámolni, nem páros, nem páratlan, nem periodikus, a $(-\infty,-1)$ és a $(3,\infty)$intervallumokon szigorúan növő, a $(-1,3)$ intervallumon szigorúan csökkenő, lokális minimum a $(3,-15)$ pontban, lokális maximum a $(-1,17)$ pontban, a $(-\infty,1)$ intervallumon konkáv, az $(1,\infty)$ intervallumon konvex, inflexiós pontja $(1,1)$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)) = -\infty$, értékkészlet: $\mathbb{R}$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf2.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = x^3-3x^2-9x+12$ függvény grafikonja a $[-4,6]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=2x^4-4x^2+10$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek: nincsenek, páros, nem periodikus, a $(-\infty,-1)$ és a $(0,1)$intervallumokon szigorúan csökkenő, a $(-1,0)$ és $(1,\infty)$ intervallumon szigorúan növő, lokális minimum a $(-1,8)$ és $(1,8)$ pontokban, lokális maximum a $(0,10)$ pontban, a $\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ és $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \infty \right)$ intervallumokon konvex, a $\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ intervallumon konkáv, inflexiós pontjai $\left( -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{80}{9} \right)$, $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{80}{9} \right)$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x)) = \infty$, értékkészlet: $[8,\infty)$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf3.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = 2x^4-4x^2+10$ függvény grafikonja a $[-2,2]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=3x^5-5x^4$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek: $0,\frac{5}{3}$, nem páros, nem páratlan, nem periodikus, a $(-\infty,0)$ és a $\left( \frac{4}{3}, \infty \right)$intervallumokon szigorúan növő, a $\left(0, \frac{4}{3} \right)$ intervallumon szigorúan csökkenő, lokális minimum a $\left( \frac{4}{3},-\frac{256}{81} \right)$ pontban, lokális maximum a $(0,0)$ pontban, a $\left(-\infty, 1 \right)$ intervallumon konkáv, az $\left( 1, \infty \right)$ intervallumon konvex, inflexiós pontja $\left( 1,-2 \right)$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)) = - \infty$, értékkészlet: $\mathbb{R}$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf4.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = 3x^5-5x^4$ függvény grafikonja a $[-1,5;\! 2,5]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=x+\frac{1}{x}$
\megold{$D_f = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, zérushelyek nincsenek, páratlan, nem periodikus, a $(-\infty,-1)$ és a $\left( 1, \infty \right)$ intervallumokon szigorúan növő, a $\left(-1, 0 \right)$ és $\left( 0, 1 \right)$ intervallumokon szigorúan csökkenő, lokális minimum az $\left( 1,2 \right)$ pontban, lokális maximum a $(-1,-2)$ pontban, a $\left(-\infty, 0 \right)$ intervallumon konkáv, a $\left( 0, \infty \right)$ intervallumon konvex, inflexiós pontja nincs, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x)) = - \infty$, értékkészlet: $\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf5.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = x+\frac{1}{x}$ függvény grafikonja a $[-3,3]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=\sin x+\cos x$, $0\le x\le 2\pi$
\megold{$D_f = [0,2\pi]$, zérushelyek: $\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$, nem páros, nem páratlan, a megadott értelmezési tartományon nem periodikus ($x \in \mathbb{R}$ esetén periodikus lenne), a $\left[ 0, \frac{\pi}{4} \right)$ és $\left( \frac{5\pi}{4}, 2\pi  \right]$ intervallumokon szigorúan növő, a $\left( \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}  \right)$ intervallumon szigorúan csökkenő, lokális minimum az $\left( \frac{5\pi}{4} , - \sqrt{2} \right)$ pontban, lokális maximum a $\left( \frac{\pi}{4} , \sqrt{2} \right)$ pontban, a $\left[ 0, \frac{3\pi}{4} \right)$ és $\left( \frac{7\pi}{4}, 2\pi  \right]$ intervallumokon konkáv, a $\left( \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}  \right)$ intervallumon konvex, inflexiós pontjai  $\left( \frac{3\pi}{4}, 0 \right), \left( \frac{7\pi}{4}, 0 \right)$, értékkészlet: $\left[ -\sqrt{2,}, \sqrt{2} \right]$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf6.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = \sin x+\cos x$ függvény grafikonja a $[0,2\pi]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=e^{-x^2}$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek nincsenek, páros, nem periodikus, a $(-\infty,0)$ intervallumon szigorúan növő, a $\left(0, \infty \right)$ intervallumon szigorúan csökkenő, lokális maximum a $(0,1)$ pontban, a $\left(-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ és $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \infty \right)$ intervallumokon konvex, a $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ intervallumon konkáv, inflexiós pontjai $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$ és $\left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{e}} \right)$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x)) = 0$, értékkészlet: $(0,1]$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf7.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = e^{-x^2}$ függvény grafikonja a $[-3,3]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\item  $f(x)=\ln (1+x^2)$
\megold{$D_f = \mathbb{R}$, zérushelyek nincsenek, páros, nem periodikus, a $(-\infty,0)$ intervallumon szigorúan csökken, a $\left(0, \infty \right)$ intervallumon szigorúan nő, lokális minimum a $(0,0)$ pontban, a $\left(-\infty, -1 \right)$ és $\left( 1, \infty \right)$ intervallumokon konkáv, a $\left( -1, 1 \right)$ intervallumon konvex, inflexiós pontjai $\left( -1, \ln 2 \right)$ és $\left( 1, \ln 2 \right)$, $\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x)) = \infty$, értékkészlet: $[0,\infty)$, grafikon:}
\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{graf8.pdf}
\vspace*{-9cm}
\captionof{figure}{Az $f(x) = \ln (1+x^2)$ függvény grafikonja a $[-2,2]$ intervallumon}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\item Határozza meg az 1 területű téglalapok közül a minimális kerületűt!
\megold{Az egységnyi oldalhosszú négyzet}
\item Határozza meg, hogy 100 méter kerítéssel maximálisan mekkora területű téglalap alakú telek keríthető körbe!
\megold{$625 \, \mathrm{m}^2$}
\item Határozza meg az 1 átfogójú derékszögű háromszögek közül a maximális kerületű háromszög kerületét!
\megold{$\sqrt{2}+1$}
\item Határozza meg az 1 térfogatú négyzet alapú hasábok közül a minimális felszínű hasáb éleinek hosszát!
\megold{Mindegyik éle $1$}
\item Határozza meg az $R$ sugarú gömbben elhelyezhető legnagyobb térfogatú henger sugarát és magasságát!
\megold{A sugár $r=\sqrt{\frac{2}{3}}R$, a magasság $m=\frac{2}{\sqrt{3}}R$.}
\item Határozza meg, hogy az $a$ alapú és $m$ magasságú háromszögek közül melyik kerülete a legkisebb!
\megold{Ezen háromszögek közt az egyenlő szárú, azaz melynek oldalai $a, \sqrt{m^2+\frac{a^2}{4}}, \sqrt{m^2+\frac{a^2}{4}}$}
\item Határozza meg, hogy az $y=\frac{1}{x}$, $x>0$ hiperbola melyik pontja van a legközelebb az origóhoz!
\megold{Az $(1,1)$ pontja }
\end{enumerate}


\end{document} 