\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{ulem}

\setlength{\hoffset}{-2.5 cm} \setlength{\voffset}{-2 cm}
\addtolength{\textwidth}{4 cm} \addtolength{\textheight}{4 cm}

\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\dx}[0]{\,\mathrm{d}x}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t}
\newcommand{\dphi}{\,\mathrm{d}\varphi}
\newcommand{\konj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\limesz}[0]{\lim\limits_{n\to \infty}}
\newcommand{\szuma}{\sum_{n=0}^{\infty}}
\newcommand{\szumb}{\sum_{n=1}^{\infty}}
\newcommand{\pl}{\emph{Példa: }}

\newcommand{\tg}{\mathop\textup{tg}}
\newcommand{\arctg}{\mathop\textup{arctg}}
\newcommand{\arth}{\mathop\textup{arth}}
\newcommand{\tah}{\mathop\textup{th}}
\newcommand{\cth}{\mathop\textup{cth}}
\newcommand{\ch}{\mathop\textup{ch}}
\newcommand{\sh}{\mathop\textup{sh}}
\newcommand{\arsh}{\mathop\textup{arsh}}
\newcommand{\kep}[2]{ \begin{figure}[h]
                        \begin{center}
             \includegraphics[height= #2]{#1}
             \end{center}
                        \end{figure}}

\begin{document}


%\textbf{D csoport}\hspace{9cm}
% {\Large \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} 1 & 2 & 3 & 4 & 5& össz\\\hline & & & & &\end{tabular}} \vspace{0.5 cm}

\textbf{EMK és KJK BSc szak, középszintű Matematika A1, 3. zh., MINTA}
\vspace{1cm}
\\
Név: ...................................................  Neptun kód: ...................... Tankör: .........

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Definiálja az $f(x)$ függvény $x_0$-ban vett deriváltját!
\item Írja le a Rolle-féle középérték tételt!
\end{enumerate}
\item Deriválja az alábbi függvényeket: a. $y=\frac{\cos 3x}{x^2+x}$  b. $y=xe^{\cos x}$
\item Határozza meg a $b$ valós számot úgy, hogy az $f(x)$ függvény mindenhol folytonos legyen: $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x+b & \mbox{ha $x\le 1$,}\\ \frac{\ln x-(x-1)}{(x-1)^2} & \mbox{ha $x>1$,} \end{array} \right.$$
\item Határozza meg, hogy az $f(x)=x^2e^{-x}$ függvény hol monoton nő illetve csökken!
\item Határozza meg, hogy az 1 térfogatú hengerek közül a legkisebb felszínű felszínét! A szélsőérték jellegét nem kell ellenőrizni!
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Megoldások}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}$
\item Ha $f(x)$ folytonos $[a,b]$-ben, differenciálható $]a,b[$-ben és $f(a)=f(b)$, akkor létezik $a<c<b$, amire $f'(c)=0$.
\end{enumerate}
\item a. $y'=\frac{-3\sin (3x)(x^2+x)-\cos (3x)(2x+1)}{(x^2+x)^2}$ b. $y'=e^{\cos x}-xe^{\cos x}\sin x$
\item $b=-2,5$
\item Monoton csökken ha $x<0$ vagy $x>2$ és monoton nő ha $0<x<2$.
\item $3\sqrt[3]{2\pi }$
\end{enumerate}

\end{document}
