\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[magyar]{babel}
%\usepackage{graphicx}
%\usepackage{ulem}

\setlength{\hoffset}{-2.5 cm} \setlength{\voffset}{-2 cm}
\addtolength{\textwidth}{4 cm} \addtolength{\textheight}{4 cm}

\newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\dx}[0]{\,\mathrm{d}x}
\newcommand{\dt}{\,\mathrm{d}t}
\newcommand{\dphi}{\,\mathrm{d}\varphi}
\newcommand{\konj}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\limesz}[0]{\lim\limits_{n\to \infty}}
\newcommand{\szuma}{\sum_{n=0}^{\infty}}
\newcommand{\szumb}{\sum_{n=1}^{\infty}}
\newcommand{\pl}{\emph{Példa: }}

\newcommand{\tg}{\mathop\textup{tg}}
\newcommand{\arctg}{\mathop\textup{arctg}}
\newcommand{\arth}{\mathop\textup{arth}}
\newcommand{\tah}{\mathop\textup{th}}
\newcommand{\cth}{\mathop\textup{cth}}
\newcommand{\ch}{\mathop\textup{ch}}
\newcommand{\sh}{\mathop\textup{sh}}
\newcommand{\arsh}{\mathop\textup{arsh}}
\newcommand{\kep}[2]{ \begin{figure}[h]
                        \begin{center}
             \includegraphics[height= #2]{#1}
             \end{center}
                        \end{figure}}

\begin{document}


%\textbf{D csoport}\hspace{9cm}
% {\Large \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} 1 & 2 & 3 & 4 & 5& össz\\\hline & & & & &\end{tabular}} \vspace{0.5 cm}

\textbf{EMK és KJK BSc szak, középszintű Matematika A1, 3. zh., MINTA}
\vspace{1cm}
\\
Név: ...................................................  Neptun kód: ...................... Tankör: .........

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Definiálja az $f(x)$ függvény $x_0$-ban vett deriváltját!
\item Írja le a folytonos függvényekre vonatkozó Bolzano-tételt!
\end{enumerate}
\item Deriválja az alábbi függvényeket: a. $y=\frac{e^{-x}}{2x-3}$  b. $y=x\cos (x^2)$
\item Határozza meg az $f(x)=\ln (1+x^2)$ függvény $y=x-4$ egyenessel párhuzamos érintőjének egyenletét!  
\item Határozza meg, hogy az $f(x)=x^4-12x^3+48x^2-7x+2$ függvény hol konvex illetve konkáv!
\item Határozza meg az $1$ átgogójú derékszögű háromszögek közül a legnagyobb kerületű kerületét! A szélsőérték jellegét nem kell ellenőrizni!
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Megoldások}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)}{\Delta x}$
\item Ha $f(x)$ folytonos $[a,b]$-ben, akkor ott minden $f(a)$ és $f(b)$ közti értéket felvesz.
\end{enumerate}
\item a. $y'=\frac{-e^{-x}(2x-3)-e^{-x}2}{(2x-3)^2}$ b. $y'=\cos(x^2)-2x^2\sin (x^2)$
\item $y=x+\ln 2-1$
\item Konvex, ha $x<2$ vagy $x>4$ és konkáv, ha $2<x<4$.
\item $1+\sqrt{2}$
\end{enumerate}

\end{document}
