Elméleti kérdések

Végtelen sorok: Végtelen sor konvergenciája; Műveletek végtelen sorokkal; Szükséges feltétel konvergenciára; Integrálkritérium; Összehasonlító kritérium; Limeszes összehasonlító kritériumok; Hányadoskritérium; Gyökkritérium; Alternáló sorokra vonatkozó Leibniz kritérium; abszolút konvergencia definíciója; Feltételes konvergencia definiciója; Abszolút konvergenciából következik a konvergencia.

Függvénysor: Definíció, konvergenciatartomány.

Hatványsor: Definíció; Konvergenciasugár; Konvergenciatartomány meghatározása konvergenciasugárral; Hatványsor deriválása, integrálása (BN)

Taylor-sorok: Definíció; Elégséges feltétel arra, hogy az f(x) függvény Taylor-sora egy intervallumban előállítsa az f(x)-et; Nevezetes függvények Taylor-sora.

Fourier-sorok: Fourier-sor definíciója; Fourier-sor részletösszege négyzetének integrálja minimális; Parseval-formula (BN); Szükséges feltétel arra, hogy egy f(x) függvény Fourier-sora előállítsa az f(x) függvényt (BN); Páros és páratlan függvények Fourier-sora; T szerint periodikus függvények Fourier-sora (BN).

Lineáris egyenletrenszerek: Gauss-elimináció; Homogén lineáris egyenletrendszer.

Mátrixalgebra: Mátrix definíciója; Műveletek (összeadás, skalárral szorzás, szorzás) mátrixokkal; Műveletek tulajdonságai; Mátrix transzponálása, tulajdonságai (BN); Inverz mátrix definíciója, kiszámolása Gauss-Jordan kiküszöböléssel, tulajdonságai (BN); n egyenletű, n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer megoldása inverz mátrixszal.

Determináns: Determináns definíciója; Determinánsban sorcsere, sor számmal szorzása, egy sorhoz másik sor c-szeresét hozzáadjuk (BN); Mátrixműveletek és determinánsok (BN); Kifejtési tétel (BN); Ferde kifejtési tétel (BN); Adjungált mátrix; Invez mátrix felírása adjungált mátrixsza; Cramer-szabály.

Vektorterek: Definíció; Altér definíciója; Szükséges és elégséges feltétel altérre; Generált altér; Lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis definíciója; Független vektorok száma legfeljebb a generátorrendszer vektorainak száma; Bázisok vektorainak száma egyenlő; Véges vektortér dimenziója; Dimenzószámnyi lineárisan független vektor vagy generátorrendszert alkotó vektor bázis; Vektorok felírása bázisvektorok lineáris kombinációjaként; Vektor koordinátája adott bázisban; Báziscsere, átmenet mátrix (BN); Sortér, oszloptér, mátrix rangja; Skalárszorzat definíciója; Hossz; Hossz tulajdonságai; Vektorok szöge (bizonyítani, hogy ez értelmes!); Ortogonalitás definíciója; Ortogonalitásból következik a függetlenség; Skalárszorzatos vektortéreben van ortogonális bázis (Gram-Schmidt ortogonalizáció); Ortonormált bázis (ONB); ONB-ban skalárszorzat; Bázisátmenet mátrix ONB-okban; Ortogonális mátrix; Lineáris transzformáció definíciója; Determináns előjeles térfogatot ad meg (BN); Képtér, magtér definiciója; Transzformációmátrix természetes bázisban, tetszőleges bázisban; Hasonló mátrixok definíciója; Diagonális mátrix; Mátrix diagonalizálhatóságának definiciója; Sajátérték, sajátvektor definíciója; Diagonalizálhatóság szükséges és elégséges feltétele; Kvadratikus alak definíciója; Négyzetes mátrix ortogonális diagonalizálhatóságának definíciója; Szükséges és elégséges feltétel ortogonális diagonalizálhatóságra (BN); kvadratikus alakok diagonalizálása.

Kétváltozós függvények: Határérték, folytonosság definíciója; Parciális deriváltak definíciója; Young-tétel (BN); Teljes vagy totális vagy csak simán differenciálhatóság; Totális differenciálhatóság és folytonosság; Láncszabály (BN); Iránymenti derivált definíciója, kiszámítása; Gradiens vektor definíciója; Leggyorsabb növekedés és csökkenés iránya; Érintősík defníciója és kiszámítása; Kétváltozós függvények első és másodrendű Taylor-polinomjának definíciója; Lokális minimum, maximum, nyeregpont; Kritikus pont; Első derivált teszt; Második derivált teszt;

Kettős integrál: Definíció; Kiszámítása téglalap tartományon; Fubini tétel normáltartományon; Szükséges feltétel kettős integrálhatóságra; Alkalmazások: téfogatszámítás, felszín, tömegközéppont, nyomatékok (BN). Helyettesítés; Jacobi-determináns; Polár koordináták.

Hármas integrál: Definíció; Kiszámítása téglalap tartományon; Kiszámítása normáltartományon; Alkalmazások: tömeg számítás, tömegközéppont (BN). Helyettesítés: Jacobi-determináns, hengerkoordináták, gömbkoordináták.

BN: bizonyítás nélkül