\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{refcheck}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ntheorem}\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}\newcommand*{\Ef}{{\mathbb E}}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{graphics}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{psfrag}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{subfigure}
\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\newcommand*{\Pf}{\mathbb P}
%\newcommand*{\Ef}{\mathbb E}
%\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}
\newcommand*{\di}{\text{d}}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\hip}{\medskip\noindent}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}

%\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[english,magyar]{babel}


%% A kov. megnoveli az oldal
%% szelesseget 4cm-el
\addtolength{\textwidth}{8cm}\setlength{\hoffset}{-2cm}
%% A kov. megnoveli az oldal
%%hosszat 2 cm-el
\addtolength{\textheight}{6cm}\setlength{\voffset}{-3cm}

\newcommand*{\ben}{\begin{enumerate}}
\newcommand*{\een}{\end{enumerate}}


\textwidth=30cc \baselineskip=16pt \makeatletter
\gdef\th@magyar{\normalfont
    \def\@begintheorem##1##2{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:]}%
    \def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:\ (##3)]}}
\makeatother



\theoremstyle{magyar}
\newtheorem{tet}{TÉTEL}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{A3 vizsga január 10.}
\end{center}
\begin{enumerate}



\item Határozzuk meg a következő differenciálegyenlet
     általános megoldását:
    $xy'=y^2-y$. (Segítség: $\frac{1}{y^2-y}=\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}$.)

\item A következő differenciálegyenlet $y'=f(y)$ alakú. Rajzolja le az
  $f(y)$ függvény grafikonját, rajzolja be a fázis vonalakat.
  Határozza meg az egyensúlyi állapotokat és jellemezze
  őket a stabilitásuk szempontjából.
  $$
y'=(y+1)(y-2).
  $$

\item Határozzuk meg következő differenciálegyenlet általános megoldását a
   próba függvény módszerrel:
   $$
y''-3y'-4y=3\e{2t}
   $$

\item Határozzuk meg a következő Cauchy-feladat megoldását!
    $$y''=y\left(y'\right)^3 \mbox{ és } y(0)=\sqrt[]{2},\ y'(0)=1.$$

\item Az A érme feldobásakor $0.4$ valószínűséggel kapunk fejet, a B
érme feldobásakor ez a valószínűség $0.6$. E két érme közül egyet
véletlenszerűen kiválasztunk és feldobunk. Feltéve, hogy a dobás
fej, mi a valószínűsége, hogy az A érmét dobtuk fel?

\item Egy kollégiumban átlagosan évente $0.1\%$-os valószínűséggel
üt ki tűz. Számoljuk ki, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy $5$
év alatt legalább $1$ tűzeset van.

\item Egy gép jav\'\i t\'asi ideje (\'or\'akban m\'erve)
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o,
\(\lambda=1/2\) param\'eterrel. \ben
\item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a jav\'\i t\'as 2 \'or\'an\'al tov\'abb tart?
\item Mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a jav\'\i t\'as \"osszesen
10 \'or\'an\'al tov\'abb tart, felt\'eve, hogy m\'ar 9 \'or\'aja
zajlik?\een

\item Egy benzink\'ut hetente egyszer kap benzint. Hogy ha a heti elad\'as (ezer literben m\'erve) egy val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o
\[
f(x)=\left\{\ba
&5(1-x)^4&&\text{, ha }0<x<1,\\
&0&&\text{, egy\'ebk\'ent} \ea \right.
\]
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'ennyel, akkor mekkora m\'eret\H u tart\'aly
sz\"uks\'eges ahhoz, hogy egy adott h\'eten a benzink\'ut 0.01
val\'osz\'\i n\H us\'eggel fogyjon ki a benzinb\H ol?

\item Adott $50$ darab független
valószínűségi változó, melyek mindegyikének eloszlása a $[0,1]$
intervallumon egyenletes. A centrális határeloszlás tétel
segítségével becsülje meg annak a valószínűségét, hogy ezen ötven
valószínűségi változó összege nem nagyobb $30$-nál.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{A3 vizsga január 10.}
\end{center}
\begin{enumerate}



\item Határozzuk meg a következő differenciálegyenlet
     általános megoldását:
    $xy'=y^2-y$. (Segítség: $\frac{1}{y^2-y}=\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}$.)

\item A következő differenciálegyenlet $y'=f(y)$ alakú. Rajzolja le az
  $f(y)$ függvény grafikonját, rajzolja be a fázis vonalakat.
  Határozza meg az egyensúlyi állapotokat és jellemezze
  őket a stabilitásuk szempontjából.
  $$
y'=(y+1)(y-2).
  $$

\item Határozzuk meg következő differenciálegyenlet általános megoldását a
   próba függvény módszerrel:
   $$
y''-3y'-4y=3\e{2t}
   $$

\item Határozzuk meg a következő Cauchy-feladat megoldását!
    $$y''=y\left(y'\right)^3 \mbox{ és } y(0)=\sqrt[]{2},\ y'(0)=1.$$

\item Az A érme feldobásakor $0.4$ valószínűséggel kapunk fejet, a B
érme feldobásakor ez a valószínűség $0.6$. E két érme közül egyet
véletlenszerűen kiválasztunk és feldobunk. Feltéve, hogy a dobás
fej, mi a valószínűsége, hogy az A érmét dobtuk fel?

\item Egy kollégiumban átlagosan évente $0.1\%$-os valószínűséggel
üt ki tűz. Számoljuk ki, hogy mennyi annak a valószínűsége, hogy $5$
év alatt legalább $1$ tűzeset van.

\item Egy gép jav\'\i t\'asi ideje (\'or\'akban m\'erve)
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o,
\(\lambda=1/2\) param\'eterrel. \ben
\item Mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a jav\'\i t\'as 2 \'or\'an\'al tov\'abb tart?
\item Mi a felt\'eteles val\'osz\'\i n\H us\'ege, hogy a jav\'\i t\'as \"osszesen
10 \'or\'an\'al tov\'abb tart, felt\'eve, hogy m\'ar 9 \'or\'aja
zajlik?\een

\item Egy benzink\'ut hetente egyszer kap benzint. Hogy ha a heti elad\'as (ezer literben m\'erve) egy val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o
\[
f(x)=\left\{\ba
&5(1-x)^4&&\text{, ha }0<x<1,\\
&0&&\text{, egy\'ebk\'ent} \ea \right.
\]
s\H ur\H us\'egf\"uggv\'ennyel, akkor mekkora m\'eret\H u tart\'aly
sz\"uks\'eges ahhoz, hogy egy adott h\'eten a benzink\'ut 0.01
val\'osz\'\i n\H us\'eggel fogyjon ki a benzinb\H ol?

\item Adott $50$ darab független
valószínűségi változó, melyek mindegyikének eloszlása a $[0,1]$
intervallumon egyenletes. A centrális határeloszlás tétel
segítségével becsülje meg annak a valószínűségét, hogy ezen ötven
valószínűségi változó összege nem nagyobb $30$-nál.
\end{enumerate}


\end{document}
