\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{refcheck}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ntheorem}\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}\newcommand*{\Ef}{{\mathbb E}}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{graphics}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{psfrag}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{subfigure}
\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\newcommand*{\Pf}{\mathbb P}
%\newcommand*{\Ef}{\mathbb E}
%\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}
\newcommand*{\di}{\text{d}}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\hip}{\medskip\noindent}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}

%\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[english,magyar]{babel}


%% A kov. megnoveli az oldal
%% szelesseget 4cm-el
\addtolength{\textwidth}{8cm}\setlength{\hoffset}{-2cm}
%% A kov. megnoveli az oldal
%%hosszat 2 cm-el
\addtolength{\textheight}{6cm}\setlength{\voffset}{-3cm}

\newcommand*{\ben}{\begin{enumerate}}
\newcommand*{\een}{\end{enumerate}}


\textwidth=30cc \baselineskip=16pt \makeatletter
\gdef\th@magyar{\normalfont
    \def\@begintheorem##1##2{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:]}%
    \def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:\ (##3)]}}
\makeatother



\theoremstyle{magyar}
\newtheorem{tet}{TÉTEL}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{A3 vizsga január 15.}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item %B,D ch 2.2 #9.
   Határozzuk meg a következő Cauchy-feladat megoldását:
  $$y'=(1-2x)y^2,\qquad y(0)=-1/6.$$
  \item Oldjuk meg a következő differenciálegyenletet:
  $$y''+2y'+5y=\cos(2x).$$
  \item Határozzuk meg az általános megoldását a következő másodrendű
differenciálegyenletnek. A megoldásokat elég implicit alakban
megadni. $$yy''+(y')^2=1$$
  \item Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert:
  $$
\left\{\begin{array}{ccr}
 x'(t) & = & y(t)  \\
 y'(t) & = & -x(t) \\
\end{array}\right\}
  $$
  \item A laboratóriumi vérvizsgálat hatékonyságáról a következőket
  tudjuk: Azon
  eseteknek $95\%$-ában, amikor valaki  egy bizonyos betegséggel rendelkezik a
  vérvizsgálat a betegséget kimutatja (vagyis a vérvizsgálat
  eredménye pozitív). Viszont az egészséges emberek 1\%-ánál a
  vérvizsgálat (hibásan) pozitív eredménnyel
zárul (vagyis egészséges egyén esetén 1\% valószínűséggel a betegség
létezését mutatja).
 Tudjuk továbbá,
hogy ezzel a betegséggel a populáció $0.5\%$-a
   rendelkezik. Mi annak a valószínűsége, hogy egy ember beteg
   feltéve, hogy a vérvizsgálat eredménye pozitív? (Segítség: Legyen $D$ az az esemény, hogy a vizsgált
   személy beteg, és $E$ az az esemény, hogy a vérvizsgálat eredménye pozitív.)
  \item Pisti nem tanult semmit a vizsg\'ara, ahol 10 darab
  eld\"ontend\H o k\'erd\'esre kell v\'alaszolnia. Az anyagb\'ol
  valami kicsi dereng, ez\'ert kicsit t\"obb, mint 50\%-os, mondjuk
  olyan 55\%-os val\'osz\'\i n\H us\'eggel \'\i r j\'o v\'alaszt
  egy-egy k\'erd\'esre. Milyen
  val\'osz\'\i n\H us\'eggel megy \'at, ha a ketteshez legalább $9$ j\'o v\'alasz
  kell?
  \item Tegyük fel, hogy egy autó akkumlátorának élettartama
  exponenciális eloszlású és átlagosan $20000$ km. Mi a
  valószínűsége annak, hogy $10000$ km után még működik az
  akkumulátor?
  \item Egy folytonos $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye
  $$
f(x)=\left\{
       \begin{array}{ll}
         3\cdot x^2, & \hbox{ha $0\leq x\leq 1$;} \\
         0, & \hbox{egyébként.}
       \end{array}
     \right.
  $$
  Kérdés: ${\rm Var}(X)=D^2(X)=?$
  \item Használva a
  DeMoivre-Laplace tételt
határozza meg, hogy legalább  h\'anyszor kell egy \'erm\'evel
dobnunk ahhoz, hogy 0.95-n\'el
  nagyobb val\'osz\'\i n\H us\'eggel a fej e\-red\-m\'e\-nyek
   sz\'ama a dob\'asok sz\'am\'anak 47\%-a \'es 53\%-a k\"oz\'e essen?
\end{enumerate}

\newpage

Megoldások.

1. $y=1/(x^2-x-6)$

2. $y \left( x \right) ={e^{-x}}\sin \left( 2\,x \right) {\it
C_2}+{e^{-x }}\cos \left( 2\,x \right) {\it C_1}+{\frac
{4}{17}}\,\sin \left( 2\, x \right) +1/17\,\cos \left( 2\,x \right)
 $

 3. $\left(x+C_2\right)^2-y^2=C_1$.

 4. $x(t)=c_1\sin(t)-c_2\cos(t),\qquad y(t)=c_1\cos(t)+c_2\sin(t)$.

 5. $P(D|E)=\frac{P(DE)}{P(E)}=\frac{P(E|D)P(D)}{P(E|D)P(D)+
 P(E|D^c)P(D^c)}=\frac{0.95\cdot 0.005}{0.95\cdot
  0.005+0.01\cdot 0.995}=0.323$

6. $X$ a helyes válaszok száma. $$P(X\geq 9)=\binom{10}{9}\cdot
0.55^9\cdot 0.45+\binom{10}{10}\cdot 0.55^{10}0.45^0=0.023.$$

7. Legyen $X$ az akkumulátor élettartama $10000$ km-ben. Ekkor
$2=E[X]=1/\lambda $, ahol $\lambda $ az exponenciális eloszlás
paramétere. Tehát $\lambda =1/2$.
$$
P(X>1)=1-F(1)=e^{-1\cdot \lambda }=e^{-1/2}=0.607.
$$

8. $\int\limits_{0}^{1}x^2\cdot
3x^2dx-\left(\int\limits_{0}^{1}x\cdot 3x^2dx\right)^2=3/80=0.0375$



9. Ha \(n\)-szer dobunk, akkor a fejek \(X\) sz\'ama
binomi\'alis(\(n,\,0.5\)) eloszl\'as\'u. A feladat szerint
\[
\ba
0.95&\le P\{0.47n\le X\le0.53n\}=P\Bigl\{\frac{0.47n-0.5n}
{\sqrt{n\cdot0.5\cdot0.5}}\le\frac{X-0.5n}{\sqrt{n\cdot0.5\cdot0.5}}
\le\frac{0.53n-0.5n}{\sqrt{n\cdot0.5\cdot0.5}}\Bigr\}\\
&=P\Bigl\{-0.06\sqrt
n\le\frac{X-0.5n}{\sqrt{n\cdot0.5\cdot0.5}}\le0.06\sqrt
n\Bigr\}=\Phi(0.06\sqrt n)-\Phi(-0.06\sqrt n)=2\Phi(0.06\sqrt n)-1.
\ea
\]
Ebb\H ol \(\Phi(0.06\sqrt n)\ge0.975\), ez\'ert \(0.06\sqrt
n\ge1.96\), avagy \(n\ge1067.11\), teh\'at 1068 dob\'as
sz\"uks\'eges.
\end{document}
