\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{refcheck}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{ntheorem}\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}\newcommand*{\Ef}{{\mathbb E}}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{graphics}
\usepackage{subfigure}
\usepackage{psfrag}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{subfigure}
%\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
%\newcommand*{\Pf}{\mathbb P}
%\newcommand*{\Ef}{\mathbb E}
%\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}
\newcommand*{\di}{\text{d}}
\newcommand*{\si}{\sigma}
\newcommand*{\la}{\lambda}
\newcommand*{\hip}{\medskip\noindent}
\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\newcommand*{\Pf}{\mathbb P}
%\newcommand*{\Ef}{\mathbb E}
%\newcommand*{\Df}{{\mathbb D}}
%\newcommand*{\di}{\text{d}}
%\newcommand*{\si}{\sigma}
%\newcommand*{\la}{\lambda}
%\newcommand*{\hip}{\medskip\noindent}
%\newcommand*{\ba}{\begin{aligned}}
%\newcommand*{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand*{\bi}{\begin{itemize}}
\newcommand*{\ei}{\end{itemize}}
\newcommand*{\ben}{\begin{enumerate}}
\newcommand*{\een}{\end{enumerate}}
%\newcommand*{\e}[1]{\text{e}^{#1}}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[english,magyar]{babel}


%% A kov. megnoveli az oldal
%% szelesseget 4cm-el
\addtolength{\textwidth}{8cm}\setlength{\hoffset}{-2cm}
%% A kov. megnoveli az oldal
%%hosszat 2 cm-el
\addtolength{\textheight}{6cm}\setlength{\voffset}{-3cm}

%\newcommand*{\ben}{\begin{enumerate}}
%\newcommand*{\een}{\end{enumerate}}


\textwidth=30cc \baselineskip=16pt \makeatletter
\gdef\th@magyar{\normalfont
    \def\@begintheorem##1##2{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:]}%
    \def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
    \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2.\ ##1:\ (##3)]}}
\makeatother



\theoremstyle{magyar}
\newtheorem{tet}{TÉTEL}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{A3 vizsga január 22.}
\end{center}

\begin{enumerate}
  \item %BD ch. 2.2  #3
  Határozzuk meg a következő differenciálegyenlet általános
  megoldását:
  $$
y'=\frac{x^2}{y(1+x^3)}.
  $$
\item  Határozzuk meg a kezdetiérték probléma megoldását:
  $$
y''+4y=t^2+3t,\qquad y(0)=0,y'(0)=2.
  $$
  \item Határozzuk meg a következő differenciálegyenlet általános
  megoldását:
$$
(\sin(x)+x\cos(y))y'+\sin(y)+y\cos(x)=0
$$
  \item Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert:
  $$
\left\{\begin{array}{ccr}
 y'(t) & = & x(t)  \\
 x'(t) & = & -y(t) \\
\end{array}\right\}
  $$
  \item Egy bűnügyi nyomozó a nyomozás egy bizonyos szakaszában $60\%$-ig
biztos abban, hogy az egyik gyanúsított, Kovács úr a tettes. Tegyük
fel, hogy ezután egy \emph{új} eddig ismeretlen információ birtokába
jut a nyomozó. Nevezetesen kiderül, hogy az elkövető dohányzik, és
az is ismert, hogy minden ötödik ember dohányos abban a közösségben
ahol ez a történet játszódik. Kérdés hány százalékig lehet biztos
Kovács úr bűnösségében mostantól a nyomozó, ha tudja, hogy Kovács úr
is dohányzik?
  \item A roulette ker\'eken 38 sz\'am van: 1-t\H ol 36-ig, 0,
  \'es dupla 0. Ha Szabó  \'ur mindig arra fogad, hogy
  az eredm\'eny 1-t\H ol 10-ig terjed, mi a val\'osz\'\i n\H us\'ege,
  hogy el\H osz\"or a negyedik fogad\'ason nyer?
  \item Legyen \(X\) egy norm\'alis eloszl\'as\'u
  val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o, melynek várható értéke $\mu =10$
 és varienciája $\sigma ^2=36$.
  Hat\'arozzuk meg a k\"ovetkez\H o val\'osz\'\i n\H us\'eget:
  $$
P(4<X<16)=?
  $$
  \item Egy folytonos $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye
  $$
f(x)=\left\{
       \begin{array}{ll}
         x\e{-x}, & \hbox{ha $x\geq 0$;} \\
         0, & \hbox{ha $x<0$.}
       \end{array}
     \right.
  $$
Kérdés: ${\rm Var}(X)=D^2(X)=?$ Segítség: használhatják a következő
képletek közül azt (azokat) amelyiket hasznosnak tartják: $$\int
x\cdot \e{-x}dx=-x{e^{-x}}-{e^{-x}},\qquad \int x^2\cdot
\e{-x}dx=-{x}^{2}{e^{-x}}-2\,x{e^{-x}}-2\,{e^{-x}}, $$
$$
\int x^3\cdot
\e{-x}dx=-{x}^{3}{e^{-x}}-3\,{x}^{2}{e^{-x}}-6\,x{e^{-x}}-6\,{e^{-x}}.
$$
  \item A Centrális Határeloszlás Tétel segítségével határozzuk meg,
hogy mennyi a val\'osz\'\i n\H us\'ege annak, hogy 50 darab
f\"uggetlen és a \([0,\,1]\) intervallumon egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'\i n\H us\'egi v\'altoz\'o \"osszege a \([0,\,27]\)
intervallumba esik.
\end{enumerate}

\newpage
Megoldás:

1. $3y^2-2\ln|1+x^3|=C.$ és $x\ne-1,y\ne0.$

2. $y=y=1/8\cdot  cos(2t) + 5/8 \cdot sin(2t) +t^2/4 - 3t/4 - 1/8$


3. $x\sin(y)+y\sin(x)=C$

4. $x(t)=c_1\cos(t)+c_2\sin(t),\qquad y(t)=c_1\sin(t)-c_2\cos(t) $.

5. $$ B=\left\{\mbox{ Kovács úr bűnös}\right\}
$$
$$
D=\left\{\mbox{ Kovács úr dohányzik }\right\}
$$
\begin{eqnarray*}
% \nonumber to remove numbering (before each equation)
  P(B|D) &=&\frac{P(B\cdot D)}{P(D)}= \frac{P(B)\cdot P(D|B)}%
  {P(B)\cdot P(D|B)+P(B^c)\cdot P(D|B^c)} \\
   &=&\frac{0.6\cdot 1}{0.6\cdot 1+0.4\cdot 0.2}=0.882.
\end{eqnarray*}
6. $p=10/38=5/19$ eséllyel nyer. Ha az $X$-edik lépésben nyer
először, akkor $X$ geometriai eloszlású $p$-paraméterrel. Tehát:
$P(X=4)=(1-p)^3p=(\frac{14}{19})^3\frac{5}{19}=.1052$.

7. $$P(4<X<16)=F(16)-F(4)=\Phi\bigl(\frac{16-10}{6}\bigr)-\Phi
\bigl(\frac{4-10}{6}\bigr)=\Phi(1)-[1-\Phi(1)]=2\Phi(1)-1\simeq0.6826.$$

8. $\int_{0}^{\infty } x^2\e{-x}dx=-{x}^{2}{e^{-x}}|_{0}^{\infty
}-2\,x{e^{-x}}|_{0}^{\infty }-2\,{e^{-x}}|_{0}^{\infty }=0+0+2=2.$

$\int_{0}^{\infty } x^3\cdot \e{-x}dx=-{x}^{3}{e^{-x}}
|_{0}^{\infty}-3\,{x}^{2}{e^{-x}}|_{0}^{\infty}
-6\,x{e^{-x}}|_{0}^{\infty}-6\,{e^{-x}}|_{0}^{\infty}=6$. Tehát

${\rm Var}(X)=6-2^2=2$


9. Az egyenletes eloszl\'as\'u v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
0.5, \'es sz\'or\'asa \(\sqrt{1/12}\). Ha \(S_{50}\) jel\"oli az 50
darab f\"uggetlen verzi\'o \"osszeg\'et, akkor a centr\'alis
hat\'areloszl\'as t\'etel szerint
\[
\ba \Pf\{S_{50}\le 27\}&=\Pf\Bigl\{\frac{S_{50}-50\cdot0.5}
{\sqrt{50}\cdot\sqrt{1/12}}\le\frac{27-50\cdot0.5}
{\sqrt{50}\cdot\sqrt{1/12}}\Bigr\}\\
&\simeq\Pf\Bigl\{\frac{S_{50}-50\cdot0.5}{\sqrt{50}\cdot\sqrt{1/12}}
\le 0.9797\Bigr\}\simeq\Phi(0.9797)\simeq 0.836. \ea
\]
\end{document}
