\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
1. gyakorlat: Alapok 
{\small (egyenlőtlenségek, függvények, teljes indukció, $\sum$)}
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Oldjuk meg a k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egeket a val\'os 
sz\'amok halmaz\'an:
\begin{enumerate}
\item $1<\left|x-2\right|<3$
\item $x^2+2x-3\ge 0$
\item $\frac{3x^2+7x-4}{x^2+2x-3}\le 2$
\end{enumerate}

\item \'Abr\'azoljuk az al\'abbi f\"uggv\'enyeket:
\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{5x+7}{x+1}$
\item $f(x)=-3\sin 2x+8$
\end{enumerate}

\item Az al\'abbi egyenletek milyen s\'ikbeli alakzatokat \'irnak le,
  \'es mik a metsz\'espontjaik?
\begin{enumerate}
\item $y=2x, x^2+y^2=1$
\item $y-x=1,y=x^2$
\item $x^2+y^2=1,x^2+y=1$
\end{enumerate}

\item
Keressük meg a függvények grafikonjának segítségével az
\[ \left|x+3\right|\ge\left|x-1\right| \]
egyenlőtlenség összes megoldását.


\item Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden term\'eszetes sz\'amra:
\[1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}.\]

\item Számoljuk ki a 
$\sum\limits_{k=1}^{50}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)$ 
összeget.

\item 
Bizonyítsuk be, hogy minden $n\ge0$ egészre
\begin{enumerate}
\item $\sum\limits_{k=0}^n 3^k = \frac{3^{n+1}-1}2$;
\item tetszőleges $q\in\R$ (valós szám) $q\neq1$ esetén
$\sum\limits_{k=0}^n q^k = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$.
\end{enumerate}


\item Igazoljuk, hogy az
els\H{o} $n$ pozit\'iv eg\'esz sz\'am k\"ob\'enek \"osszege 
\[\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2.\]

\item
Legyen $n$ pozitív egész. Számoljuk ki a 
$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left((k+1)^3-k^3\right)$ összeget kétféle módon.
Ha jól csináltuk, akkor ebből kapunk egy formulát az első $n$ pozitív
egész szám négyzetének összegére, $\sum\limits_{k=1}^nk^2$-re.







\end{enumerate}



\end{document}
