\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\sg}{\mathop{\mathrm{sg}}}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
2. gyakorlat: Halmazelméleti és logikai alapok
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Írjuk föl az $[1,8)$ intervallumot és a $(-\infty, 5)$ intervallumot 
halmaz jelöléssel.


\item2
A következő halmazokat írjuk föl az $\R$, $\Q$, $\N$ és $\Z$
számhalmazok és intervallumok fölhasználásával, halmazműveletek segítségével. 
\[
A=\left\{x\in \R\,|\,\,\frac{x^2-x}{x-1}\ge 0\right\}\text{\hskip 3cm}
B=\left\{[x]\,|\,\,x\in\R, \frac1{\sqrt{x+1}} \text{értelmezve van}\right\}
\]


\item
Legyen $T$ a téglalapok, $R$ a rombuszok, $D$ pedig azoknak a négyszögeknek a
halmaza, amelyeknek van derékszögük.
\begin{enumerate}
\item Fejezzük ki az $N=\left\{\hbox{négyzetek}\right\}$ halmazt a fönti
halmazokkal! 
\item Írjunk föl egy igaz egyenlőséget a $T$, $R$, $D$ halmazok segítségével!
\item A $T$, $D$, $R$ halmazokat együtt ábrázoló Venn-diagramon satírozzuk be
az üres részeket, a többibe pedig rajzoljunk odaillő négyszöget!
\end{enumerate}

\item
Bizonyítsuk be az $A\setminus(A\setminus B) = B\setminus(B\setminus A)$
azonosságot! 


\item
Az $A$ és $B$ halmazhoz határozzuk meg az összes olyan $X$ halmazt, amelyre
$A\setminus(B\setminus X) = A$.

\item
Mi a tagadása a következő mondatoknak?
\begin{enumerate}
\item Ha ötös leszel énekből, veszek neked egy biciklit.
\item Minden macskának két füle van.
\end{enumerate}

\item
Fejezzük ki a ,,kizáró vagy''-ot a $\lnot$, $\land$ és $\lor$
logikai műveletek segítségével!  


\item
Bizonyítsuk be, hogy a $\lnot(p\land q)$ állítás azonos a $p\implies \lnot q$
állítással!


\item
Az asztalon $7$ kártyalap van, melyek egyik oldalán betű, a másik oldalán
szám áll. Mi ezeken az $1,2,3,A,B,C,D$ felírást látjuk. Legkevesebb hány
lapot kell megfordítani, hogy bebizonyítsuk a következő állítás igazságát:
,,Amelyik kártyán magánhangzó van, azon a szám páros.''?


\item
Legyen az $f(x)$ jelentése: $x$ fél, $v(x)$ jelentése $x$ velem jön.
Fejezzük ki a következő mondatokat az $f(x)$, $v(x)$ állítások
segítségével. Állapítsuk meg, hogy közülük melyek jelentik ugyanazt, melyik
tagadása egy másiknak! Az $F:=\left\{x\,|\,\,f(x)\right\}$ és 
$V:=\left\{x\,|\,\,v(x)\right\}$ halmazokat ábrázoló Venn-diagramon szemléltessük az 
állítások jelentését (jelölje $\times$ azt, hogy egy halmaz üres, $\cdot$ azt,
hogy egy halmaz nem üres)!
\begin{enumerate}
\item Aki nem fél, az velem jön.
\item Nem fél, aki velem jön.
\item Olyan is jön velem, aki fél.
\item Aki velem jön, az fél.
\item Mindenki fél, aki nem jön velem.
\item Velem jön, aki fél.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{document}
