\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
3. gyakorlat: Komplex számok
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Végezzük el az alábbi műveleteket: 
\[
(3+2i)+(1-i) ,\qquad 
(1-i)\left(\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i\right),\qquad
\frac{3+2i}{1-i},\qquad
\frac{2}{(1-i)(3+i)}
\]


\item Mutassuk meg, hogy $\overline{z_1\cdot z_2}=\bar{z_1}\cdot\bar{z_2}$.

\item Ábrázoljuk a komplex síkon a következő halmazokat:
\[
\re z=1,\qquad 1<\abs{z}<2,\qquad\abs{z+i}\leq1,\qquad\abs{z-i}=\abs{z+i}
\]

\item 
Oldjuk meg a komplex számok halmazán:
\begin{enumerate}
\item $\left.\begin{array}{l}z_1+z_2=2\\z_1-z_2=2i\end{array}\right.$
\item $z^2=2i$
\end{enumerate}

\item 
Oldjuk meg a komplex számok halmazán:
\begin{enumerate}
\item $x^2-2x+2=0$
\item $x^2-2x-i=0$
\end{enumerate}

\item 
Adjuk meg trigonometrikus alakban: 
\[
-1-i,\quad\sqrt{3}-3i,\qquad \cos\varphi-i\sin\varphi
\]

\item 
Szabályos háromszög két csúcsa $1+4i$ és $5+i$. Mi lehet a harmadik csúcs?

\item Adjuk meg algebrai alakban: 
\[
(1+i)^{12} ,\qquad (1+\sqrt{3}i)^4,\qquad
\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right)^{1236},\qquad 
\sqrt[3]{-8i},\qquad
\sqrt[6]{1}\] 

\item 
Oldjuk meg a következő egyenletet: $\bar{z}=z^n$ ($n\in\mathbb{N}^+$).

\end{enumerate}
\end{document}
