\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
4. gyakorlat: Térvektorok
}
\end{center}

\begin{enumerate}


\item
Egy háromszög oldalainak felezőpontjai adva vannak.
A felezőpontoknak a háromszög síkjában felvett valamely $O$ pontra vonatkozó
helyvektorai segítségével fejezzük ki a háromszög egyik csúcsának helyvektorát.

\item Legyen az $ABC$ háromszög két oldalvektora
$\overrightarrow{AB}={\bf c}$ és $\overrightarrow{AC}={\bf b}$.
Fejezzük ki ${\bf b}$-vel és ${\bf c}$-vel a háromszög
súlyvonalvektorait.

\item 
Az $\mathbf a$ és $\mathbf b$ vektorok szöge $\frac\pi3$,
abszolút értékük $\left|\mathbf a\right| = 3$ és $\left|\mathbf b\right| = 4$.
Számítsuk ki $\mathbf a\cdot \mathbf b$, $(\mathbf a + \mathbf b)^2$
és $(3 \mathbf a - 2 \mathbf b)\cdot (\mathbf a + 2 \mathbf b)$ értékét.

\item Mennyi az $\mathbf a = (3, 1, 3)$ és a $\mathbf b = (1, -2, 2)$ vektorok 
hajlásszöge?

\item Az $\mathbf a$ és $\mathbf b$ vektorok hajlásszöge $30^\circ$, 
abszolút értékük $\sqrt 3$, illetve $1$. Számítsuk 
ki az $\mathbf a + \mathbf b$ és $\mathbf a - \mathbf b$ vektorok
szögét.

\item A $t$ paraméter mely értékénél lesz az alábbi
$\mathbf a$ és $\mathbf b$ vektorok szöge $\alpha$?
\begin{enumerate}
\item $\mathbf a = (1, t, 1)$, $\mathbf b = (-1, 2, 1)$, $\alpha = 60^\circ$;
\item $\mathbf a = (t, 1, 2)$, $\mathbf b = (0, -1, 1)$, $\alpha = 90^\circ$;
\end{enumerate}

\item
Adjuk meg az előző feladatban szereplő $\ve a$ és $\ve b$ vektorokra 
az $\ve a\times\ve b$ vektor koordinátáit. 

\item
Mennyi a területe annak a paralelogrammának, amelynek csúcsai 
$A=(1,1,1)$, $B=(2,2,2)$, $C=(2,3,1)$, továbbá $A$ és $C$ nem szomszédos 
csúcsai?

\item Végezzük el az alábbi vektori szorzásokat, majd hozzuk
egyszerűbb alakra az eredményt.
\begin{enumerate}
\item $(\mathbf a + \mathbf b) \times (\mathbf a - \mathbf b)$,
\item $(\mathbf a + 2 \mathbf b) \times (2 \mathbf a + \mathbf b) +
(\mathbf a - 2 \mathbf b) \times (2 \mathbf a - \mathbf b)$,
\item $(\mathbf a - 2 \mathbf b + \mathbf c) \times
(3 \mathbf a + 10 \mathbf b - 7 \mathbf c)$.
\end{enumerate}

\item Számítsuk ki $(\mathbf i \times \mathbf j)^2$ és
$(3 \mathbf i - \mathbf j) \times (\mathbf i \times 2 \mathbf j)$
értékét!

\item Az $\mathbf a \times \mathbf c = \mathbf b \times \mathbf c$
egyenlőségből következik-e, hogy $\mathbf a = \mathbf b$?

\item
Mennyi a térfogata annak a paralelepipedonnak, amelynek az egyik csúcsából
induló három oldalvektora $\ve a=(1,-1,1)$, $\ve b=(0,0,-1)$, 
$\ve c=(2,0,4)$?

\item Komplanárisak-e a $2 \mathbf a + 3 \mathbf b$, $3 \mathbf b
- 4 \mathbf c$, $2 \mathbf a + 5 \mathbf c$ vektorok, ha az $\mathbf a$,
$\mathbf b$, $\mathbf c$ vektorok nem komplanárisak?

\end{enumerate}
\end{document}
