\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
5. gyakorlat: Egyenesek, síkok
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Írjuk fel az alábbi egyenesek paraméteres egyenletrendszereit!
\begin{enumerate}
\item Átmegy az $A(-2,5,1)$ ponton, és párhuzamos az 
${\bf a}=[-1,2,3]$ vektorral.
\item Átmegy a $P(3,1,2)$ és a $Q(-1,1,3)$ ponton.
\item Párhuzamos a ${\bf k}=[0,0,1]$ vektorral, és átmegy az
$A(5,1,4)$ ponton.
\item Merőleges az ${\bf a}=[-2,3,1]$ és a ${\bf b}=[2,0,1]$
vektorra, és átmegy az $A(6,-3,4)$ ponton.

\end{enumerate}

\item Adjuk meg az alábbi síkok egyenleteit!
\begin{enumerate}
\item Átmegy az $A(2,1,4)$ ponton és merőleges az ${\bf n}=[3,2,-4]$ vektorra.
\item Átmegy az $A(7,2,-2)$ ponton és merőleges az ${\bf n}=[2,0,3]$ vektorra.
\item Átmegy a $P(0,-1,2)$, $Q(2,-1,1)$ és $R(4,3,-2)$ pontokon.
\item Átmegy a $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ és $R(0,0,1)$ pontokon.
\end{enumerate}

\item
Határozzuk meg annak a síknak az egyenletét, amely 
\begin{enumerate}
\item átmegy a $P(3,0,1)$ ponton és párhuzamos az 
\[
e:\ \ \left\{\begin{array}{ll}x&=1-2t\\y&=2+t\\z&=-2t\end{array}\right.
\quad \hbox{és} \quad 
f:\ \ \frac{x+2}2=y=-z
\]
egyenesekkel;
\item átmegy a $P(-2,1,0)$ ponton és tartalmazza az 
$e:\ x=t+2,\ y=3t,\ z=2$ egyenest.
\end{enumerate}

\item
Írjuk fel a következő egyenesek egyenleteit!
\begin{enumerate}
\item átmegy az $A(0,4,1)$ ponton és párhuzamos a $3x+y-z+1=0$ és az 
$x+y+z=0$ egyenletű síkok metszésvonalával;
\item átmegy az $A(1,-1,2)$ ponton, merőleges $\ve v=[2,2,1]$ vektorra és
metszi az $x-1=y-5=\frac{z-2}2$ egyenletű egyenest.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item
Számoljuk ki a $\ve v=[3,-1,1]$ vektor $[x,y,z]=t\cdot[4,-3,0]$ egyenes 
irányába eső és az erre merőleges komponensét! Milyen távol van 
az $A(3,-1,1)$ pont a fenti egyenestől?
\item
Mi lesz az előbbi $\ve v$ vektor $x-2y-z=0$ síkra merőleges és azzal 
párhuzamos komponense? És $A$ távolsága ezen síktól?
\end{enumerate}

\item
Tükrözzük az $A(2,-1,3)$ pontot az $x=3t,\ y=5t-7,\ z=2t+2$
egyenletrendszerű $e$ egyenesen!

\item
Tükrözzük az $A(4,-3,5)$ pontot az $x-y+z-9=0$ egyenletű síkra, majd
a tükörképet vetítsük merőlegesen a $2x=y=-z$ egyenesre. Írjuk fel a 
kapott pont koordinátáit!

\end{enumerate}
\end{document}
