\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
6. gyakorlat: Függvények határértéke
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item Számítsuk ki a következő határértékeket!
\[\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{3 x^4+2 x^2}{x^5+3 x^3+x^2},\quad
\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{6 x^4+3 x^2+5 x}{4 x^3+7 x^2},\quad
\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3}{x^3-4 x^2+3 x},
\]
\[
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{x^2},\quad
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{6 x^4+3 x^2+5 x}{4 x^3+7 x^2},\quad
\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{7x^2+3+x}{2x^2-2x+9}
\]

\item Számítsuk ki az alábbi függvények határértékét a végtelenben!
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}$
\item $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1} - \sqrt{x^2+1}}{2x+3}$
\end{enumerate}

\item Számítsuk ki a következő határértékeket! 
\[
\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x^2}}{x^2},\quad
\lim\limits_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{x-\frac{\pi}{2}},\quad
\lim\limits_{h\rightarrow0}\frac{\cos(x+h) - \cos(x)}h,\quad
\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}
\]

\item Számítsuk ki az alábbi függvények ferde aszimptotáit!
%(polinomosztás ill f(x)/x msz.)
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \frac{x^2+1}x$
\item $f(x) = \sin x$
\item $f(x) = \frac{x^2-3}{2x-4}$
\item $f(x) = \frac{x \cdot (2x^2+x+3)}{2x^2+1}$
\end{enumerate}


\item Hol folytonosak az alábbi függvények? Melyek azok a pontok, ahol nem 
folytonosak, de folytonossá tehetőek?
\begin{enumerate}
\item $f(x) = x\cdot\sin\frac1x$
\item $f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}$
\item $f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$
\item $f(x) = \frac{1 - \cos x}{x^2}$
\end{enumerate}


\item Válasszuk meg a paraméterek értékét úgy, hogy a függvény
folytonos legyen!
\[
f(x) = \begin{cases} \sin(ax)/x, & {\text ha\ } x < 0;\\
			1 - x^2, & {\text ha\ } 0 \leqslant x<3;\\
			2bx, & {\text ha\ } 3 \leqslant x
		\end{cases}
\]

\item Egyenlet közelítő megoldása.
\begin{enumerate}
\item Igazoljuk, hogy az $f(x) = x^3 - 20x + 2$ függvénynek van
zérushelye a $0$ és a $2$ között.
\item Becsüljük meg ezt a gyököt!
\item Igazoljuk, hogy a megoldás
\[
\left(\sqrt{\frac{19}{27}}-1\right)^\frac{1}{3} -
\left(\sqrt{\frac{19}{27}}+1\right)^\frac{1}{3}.
\]
\end{enumerate}

%\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2 x+x^2}}{x^2-3 x+2}
%\lim\limits_{x\rightarrow3}\frac{x^2-3}{x^3-4 x^2+3 x},
\end{enumerate}
\end{document}
