\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}

\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
7. gyakorlat: Függvények deriváltja
}
\end{center}

\begin{enumerate}

%\item (Egy kis gyakorlás.) 
%Számítsuk ki az alábbi függvények határértékét $x_0=0$-ban!
%\begin{enumerate}
%\item $\frac{\sin 4x^2}{x^2}$
%\item $\frac{1-\cos x}{x^2}$
%\item $\frac{\sqrt{2+\tg x}-\sqrt{2-\tg x}}{\sin 3x}$
%\end{enumerate}

\item
Differenciáljuk az alábbi függvényeket!
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^2+x+8$
\item $f(x)=(x-4)(x+1)$
\item $f(x)=\frac{x^2+x-1}{x^3+4}$
\item $f(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$
\item $f(x)=\frac{\sin^2 x+\cos x}{\sqrt x+2}$
\end{enumerate}

\item Vizsgáljuk meg az alábbi függvényeket értelmezési
tartomány, folytonosság, diffe\-renciálhatóság szempontjából!
\begin{enumerate}
\item $\sin\frac 1x$
\item $x \cdot \sin\frac 1x$
\item $x^2 \cdot \sin\frac 1x$
\item $\frac 1 x \cdot \sin\frac 1x$
\end{enumerate}

\item Számítsuk ki az $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x + 1}$
függvény aszimptotáit a $+\infty$-ben és a $-\infty$-ben!

\item
Határozzuk meg a függvény érintőjét az adott pontban!
\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^3+x-6$, $x_0=1$
\item $f(x)=\frac1{\sin x+\cos x}$, $x_0=\frac\pi2$
\end{enumerate}

\item
Mi lesz az $f(x)=\frac{x+3}{x-1}$ függvény $y=-2x$ egyenessel
párhuzamos érintőnek egyenlete?
 

\item (Exponenciális függvény és deriváltja.) Felhasználva, hogy 
\[
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=1,
\]
\begin{enumerate}
\item igazoljuk, hogy $e^x$ deriváltfüggvénye önmaga, 
\item $\ln x$ deriváltja ($x>0$ esetén) $\frac1x$ és
\item számítsuk ki a következő függvények deriváltjait 
(értelmezési tartományaik belső pontjaiban):
\[
e^{3x+4},\quad
e^{-\sin x},\quad
\ln\tg x,\quad
\frac{e^x-1}{e^x\sqrt{x}+\ln x},\quad
2^x,\quad
\log_{10}x,\quad
x^x,\quad
\sin x^{\frac{(4-x)^2}{\sqrt{\tg x}}}.
\]
\end{enumerate}


\end{enumerate}
\end{document}
