\documentclass[a4paper]{article}
\pagestyle{empty}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin2]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fullpage}\pagestyle{empty}

\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\F}{\mathbb F}
\newcommand{\ve}{\mathbf}
\newcommand{\re}{\mathop{\mathrm{Re}}}
\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}
\newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}x}
\newcommand{\dy}{\mathrm{d}y}


\newcommand{\hf}{\hskip -25pt $\bullet$ \hskip 17pt}
\newcommand{\hfa}{\hskip -47pt $\bullet$ \hskip 39pt}
\newcommand{\defi}{\medskip\hskip -25pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\Large \bf Matematika A1b 2006/2007 ősz\\
8. gyakorlat: Paraméteres és implicit függvények, szélsőértékek
}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item
Adjuk meg a következő görbék egy-egy pararméterezését:
\begin{enumerate}
\item az $(1,2)$ pontból a $(3,5)$ pont irányába menő félegyenes;
\item az origó körüli egységkör $x\ge 0$-ba eső fele;
\item az origót az $y=x^2$ parabola pontjaival összekötő szakaszok
felezőpontjai által alkotott görbe. Ennek írjuk fel a paramétermentes
egyenletét is. 
\end{enumerate}

\item
Számítsuk ki a $\frac\dy\dx$ deriváltat a következő, paraméteresen
megadott görbékre, a megadott $x_0$ értékekhez tartozó pontokban.
\begin{enumerate}
\item $x(t)=t^3+t$, $y(t)=t^2+2\sin t$, $x_0=0$;
\item $x(t)=1-2\sqrt t$, $y(t)=\sqrt{t^2+1}$, $x_0=-1$.
\end{enumerate}

\item
Számítsuk ki az implicit egyenlettel meghatározott $y=f(x)$ függvény
deriváltját.
\begin{enumerate}
\item $3xy = (x^3+y^2)^{3/2}$
\item $2xy-y^2=3$
\item $y+xy'-2yy'=0$
\end{enumerate}

\item
Egy falnak támasztott $2,5$ méter hosszú létra elkezd lefelé csúszni. Amikor
az alja $2m$ távol van a faltól, akkor a faltól való távolodásának
sebessége éppen $0,3\frac ms$. Milyen sebességgel csúszik ugyanekkor lefelé a
létra fölső vége? Mekkora ebben a pillanatban a létra és a talaj által bezárt
szög változási sebessége?

\item
Határozzuk meg az $f(x)=\sqrt[3]{x+2}-x$ függvény abszolút maximumát és
minimumát a $[-3,6]$ intervallumon.

\item 
Keressük meg az $x^3-3x^2+1$ és az $x^{2/3}(x+2)$ függvények lokális
szélsőértékhelyeit.

\item
Vizsgáljuk meg monotonitás és szélsőértékek szempontjából a
$-x^2-3x+3$ és az $x^2\sqrt{x-5}$ függvényeket.

\item 
Mekkora egy $5$ hosszú befogójú derékszögű háromszög maximális területe?



\end{enumerate}
\end{document}
